Собрание сочинений. Том 5. 1981-1982

Математика и диалектика прежде всего выступают как разные науки. Математика представляется чисто формальным методом, который, исходя из абстрактных неопределяемых понятий и недоказываемых утверждений (аксиом), пользуясь формальными, установленными внешним образом правилами, получает вытекающие из этих аксиом выводы, затем добавляет столь же формальным, внешним образом формальные определения, вводит формальные предпосылки, получает новые выводы о связях между предпосылками, аксиомами, определениями и прежними выводами и т. д. В зависимости от комбинации неопределяемых понятий, аксиом, определений и предпосылок образуется та или иная область математического исследования, вырастает та или иная ветвь математики, которая либо развивается независимо, либо соединяется с другими, проникает в другие или поглощается ими. Поскольку формально-аксиоматический метод есть абстрактный, дедуктивный метод, применяемый к абстрактным понятиям, его выводы безоговорочно относятся только к тем абстрактным понятиям, которые находятся внутри математики,[137] зато выводы эти имеют вид абсолютных истин.[138] Последнее всегда вызывало зависть у тех, кто глядел со стороны на грандиозное, монолитное сооружение математики, перестраиваемое, казалось, лишь для того, чтобы сделать путь от предпосылок к выводам короче, а выводы – более глубокими и общими.

Но было бы недиалектично ограничиваться указанием на то, что математика и диалектика – разные науки. Диалектика требует, чтобы наряду с этим указанием было принято во внимание и положение об их единстве. Математика – абстрактная наука. Но понятия диалектики, с помощью которых она отражает мир, также суть абстракции. И вообще разве есть хоть одна наука о действительном мире, которая оставалась бы наукой, а не собранием сведений, лишь приведенных в некоторый порядок, если бы она не пользовалась абстракциями? Ведь не случайно Энгельс говорил, что «общий закон изменения формы движения гораздо конкретнее, чем каждый отдельный „конкретный” пример этого».[139] Поэтому в абстрагировании скорее не противоположность, а единство диалектики и математики. Математика является лишь особого рода абстрактным отражением определенных сторон реальной действительности. В чем же принципиальное различие диалектики и математики?

Каждому диалектическому понятию соответствует некоторое действительное явление, действительный объект, и это понятие о нем уточняется в ходе познания. В математике понятия числа, операции, пространства, функции и т. д. также суть отражения вполне реальных объектов и их отношений. В то же время отнюдь не каждое математическое понятие связывается непосредственно с каким-либо реальным объектом: устанавливать такие связи – дело наук, использующих математику. Математическое понятие, кроме того, в отличие от всех прочих, есть некоторая неизменная, раз навсегда заданная абстракция.

Математические понятия, будучи определены, не способны к саморазвитию, поэтому изображать развитие с помощью математических абстракций возможно в ряде случаев лишь путем смены этих абстракций, отражая в них разные стороны, а также моменты движения действительного явления, получая тем самым все более уточняющийся образ этого явления.

Для диалектики движение понятий определяется движением явлений и уточняется в процессе познания. Энгельс писал, что «только она представляет аналог и тем самым метод объяснения для происходящих в природе процессов развития, для всеобщих связей природы, для переходов от одной области исследования к другой».[140] Для математики правила вывода заданы заранее, заданы извне, заданы формально. Но каковы бы ни были мотивы выбора этих правил, если они отвечают связям и движению тех сторон явлений, которые верно изображаются математическими абстракциями, мы получим верный результат. А если будем подбирать все более подходящие математические понятия и все более подходящие правила выбора, то в итоге это и будет означать, что как наши формальные математические понятия, так и формальные правила вывода в своей смене, в своем движении перестают быть противоположными понятиям и правилам диалектики и становятся лишь разновидностью диалектических понятий и законов мышления. Диалектика открывает нам новые истины, но и математика, перерабатывая одни понятия и суждения в другие, представляет, например, скрытое (теорема) в явном виде (ее доказательство).