Собрание сочинений. Том 5. 1981-1982

Методологически вопрос о применении математики в науках о действительности сводится, следовательно, к тому, где, для чего, какие математические абстракции применять, какие предпосылки и определения брать, какими правилами вывода в каждом конкретном случае пользоваться, как оценивать полученные математическим путем результаты. Вот почему только другие, нематематические методы исследования могут дать оценку применению математики, обеспечить проверку полученных с помощью математики выводов, подсказать пути дальнейшего внедрения математики. Нужен опыт применения математики в соответствующей области, проверка полученных математическим путем результатов на практике, выработка и использование адекватного данной области исследования математического аппарата. Так возник и развивается аппарат механики и физики, таков же путь внедрения математики во все другие науки, понятия которых на известной ступени развития науки становятся доступными математической обработке.

Математика как одна из форм познания материального мира неотделима от гносеологии и тем самым от диалектики. В то же время математические теории применимы к действительности диалектически только в своем отрицании, т. е. непременно в смене и уточнении этих теорий, в процессе применения различных математических средств к одному и тому же явлению, в процессе исследования одной и той же стороны явления разными математическими методами. Каждая отдельная математическая теория, даже если она изображает движение, является неизменной, неподвижной абстракцией, причем ни одна математическая теория, будучи взята в отдельности, не даст о явлении больше знаний, чем заложено неявно в ее предпосылках. Попытки построить раз навсегда законченную, неуточняемую математическую теорию, изображающую некоторый действительный процесс – например, экономического развития, – являются попытками остановить движение познания. Напротив, абстрагирование, выделение в специальный объект исследования отдельных сторон, связей и отношений действительности, которое составляет суть математики, если оно делается с сознанием неполноты исследования, с сознанием того, что результаты верны в той узкой области, где данные математические абстракции хорошо отражают действительность, такое абстрагирование составляет важный этап в познании явлений, необходимый и безусловно признаваемый как один из методов их исследования.

При этом никогда нельзя забывать, что абстракции «представляют собой в такой же мере продукт исторических условий и обладают полной значимостью только для этих условий и внутри их».[141]

В зависимости от того, какие стороны явления берутся в расчет, а от каких отвлекаются, в зависимости от характера самой исследуемой области, находится выбор и конструирование математических методов, которые следует применять в каждом конкретном случае. Гарантией успеха служит весь человеческий опыт, который свидетельствует: если предпосылки взяты верными, если мы правильно применяем к ним законы мышления, то и выводы получаются соответствующими действительности.[142]