Современная космология: философские горизонты

Теория множеств впервые в истории науки доказала возможность дать положительное определение бесконечности. До этого бесконечность могла определяться лишь отрицательным образом — как то, что не есть конечное, как выход за всякое конечное и т. п. Конечное, однако, само есть отрицание бесконечного. Получается порочный круг. Теоретико-множественное понимание бесконечности не связано с установлением и снятием какого-либо предела. Определяющая черта бесконечного множества, отличающая его от конечного, это то, что в нем существует подмножество, эквивалентное (равномощное) самому множеству. Я рискну сформулировать это так: для бесконечности существует такое качество, которое снимает в нем количественные различия. Таким образом, бесконечность не просто связана с категорией меры, что отчетливо видно уже на примере рассмотренных выше менее общих типов бесконечности, она порождает свою особую, специфическую меру. Существование «меры вещей» обнаруживается в том, что изменение количества только до определенной границы остается безразличным для качества. Но количество, развитое до предела и за всякий предел, теряет свое значение, переходит в чистое качество, но качество, не свойственное ни одной конечной вещи. Можно было бы сказать, что это есть качество, полученное в результате неограниченных чисто количественных изменений, но изюминка ситуации ведь заключается в том, что в теории множеств бесконечность не есть процесс или результат процесса, а нечто существующее, так сказать, изначально и в готовом виде. Мера здесь выступает как «статическое» единство качества и количества, но качественная определенность выражена столь ярко, что стирается значение количественной. Такое понимание бесконечности резко расходится не только с античным (бесконечность — определенное очень большое количество), но и вообще с господствующим и поныне представлением, согласно которому бесконечность есть количественное понятие.

Теория множеств снимает противоположность конечного и бесконечного. Для нее не существует никакой принципиальной разницы между конечными и бесконечными множествами. Элементы множества задаются указанием их свойства, качества. Сказать: «такое-то множество» или «такое-то свойство» — это одно и то же, и не имеет никакого значения, присуще это свойство одному объекту или таких объектов бесконечно много.

Однако теория множеств одновременно резко усиливает противоположность конечного и бесконечного. Они, если угодно, пребывают на разных логических основах. Поскольку бесконечное множество эквивалентно своему под-множеству, то бесконечность явно нарушает аксиому Евклида (и самого «здравого смысла»!) «целое больше части».

Диалектичность теоретико-множественного понимания бесконечности этим отнюдь не ограничивается. Выше было подчеркнуто, что в теории множеств бесконечность есть качественное понятие. Но вместе с тем теория множеств впервые позволила по-настоящему, строго количественно различать разные бесконечности (понятие кардинального числа), более того, выяснила, что сам ряд мощностей бесконечных множеств бесконечен! Однако логика (арифметика) трансфинитных чисел отлична от обычной, так что возврата к чисто количественной бесконечности нет.

2.7. Актуальная и потенциальная бесконечность. В основе теории множеств лежит представление о существовании актуальной бесконечности. Выше это понятие неявно использовалось, разумеется. Но в силу его существенного значения для нашей темы на нем стоит остановиться особо.

До появления теории множеств математическая и философская мысль по существу не могла одолеть апории Зенона, доказывавшие невозможность актуальной (интенсивной, но фактически также и экстенсивной) бесконечности. Космологическая (экстенсивная) форма апории «Ахилл» отчетливо сформулирована в первой антиномии чистого разума Канта.

Всеобщее убеждение в невозможности актуальной бесконечности нашло выражение в известном изречении infinitum actu non datur — действительная (актуальная) бесконечность не дана (не существует). Против актуальной бесконечности высказывались философы такого калибра, как Аристотель, и математики такого калибра, как Гаусс. Многие современники Кантора во главе с Кронекером считали его настоящим еретиком. Против придания бесконечности какого бы то ни было реального значения решительно возражал виднейший математик Гильберт.

Но в сочетании слов «бесконечность Вселенной» бесконечность предполагается актуальной. Вселенная либо актуально бесконечна, либо она вообще не бесконечна. Это обстоятельство очень четко выражено в случае метрической бесконечности в однородных изотропных моделях. Если в некий произвольный момент времени пространство конечно, то оно всегда было и будет конечным, и обратно. Конечное пространство не может стать бесконечным, бесконечное — конечным, его свойство быть конечным или бесконечным есть инвариант эволюции.