Статьи и речи

Знак минус получается от того, что curl curl D противоположно кривизне по направлению. Сравнение с (1) даёт соотношение F=½πκρα L. Так как тяга на единицу длины трубки равна 2πρ𝑑ξ/𝑑t×κ, то тягу на единицу объёма F можно записать в виде

F

=2π(𝑑ξ/𝑑t×κ)(½L)=πρL𝑑ξ/𝑑t×κ

(3)

Подставляя это выражение для F в (2), получим

𝑑ξ/𝑑t×κ=-½κα curl curl

D

.

(4)

Теперь рассмотрим криволинейный интеграл от F по замкнутой плоской кривой C (рис. 3). Трубки, перпендикулярные к плоскости рисунка, показаны в сечении кривыми стрелками для обозначения направления циркуляции, причём за положительное направление принято направление против часовой стрелки. Из предыдущих рассуждений ясно, что если некомпенсированная кривизна такова, что трубка 1 дрейфует в C, то трубка 2 имея противоположную циркуляцию, будет дрейфовать из C. Подъёмная сила на каждую трубку направлена вдоль -F, а тяга на жидкость направлена вдоль F.

Рис. 3. Трубки, дрейфующие через кривую С.

Из рис. 3 ясно, что если F должно сохранять преобладающее направление против часовой стрелки, то трубки с положительной циркуляцией будут дрейфовать внутрь C, а трубки с отрицательной циркуляцией будут покидать C, увеличивая таким образом результирующую положительных трубок. Следовательно, криволинейный интеграл F вокруг C связан со скоростью изменения результирующей циркуляции вокруг C. На рис. 3 элемент длины дуги 𝑑r обозначен через F и представлена плоскость (плоскость рисунка), по отношению к которой дрейфующие трубки имеют нормальные составляющие. Число положительных трубок, пересекающих 𝑑r влево в единицу времени, в ξ𝑑r cos θ раз больше числа положительных трубок на единицу площади. Число отрицательных трубок, покидающих C, такое же самое. Отрицательная трубка, покидающая C, есть та же самая в отношении циркуляции C, что и положительная входящая трубка. Компоненты трубки в плоскости рисунка не вносят никакой доли в циркуляцию C. Каждая трубка внутри C вносит 2πκ единиц циркуляции в C, а так как плотность разлагаемых трубок в направлении, нормальном к рисунку, есть ½L то скорость изменения циркуляции вокруг C равна

∂/∂C (circ C) =

∮

2πκ(½L)(ξ𝑑r cos θ).

На основании (3), учитывая, что 𝑑ξ/𝑑t нормально к κ, можно записать

F

𝑑

r

=πρκLξ𝑑r cos θ,

так что

∂/∂t(circ C) = 1/ρ

∮

F

𝑑

r

.

По мере того как размеры контура C становятся малыми (однако недостаточно малыми, для того чтобы были различимы индивидуальные трубки), эти члены, разделённые на площадь, охватываемую C, приближаются к компоненту, нормальному плоскости рисунка

∂/∂t(curl

q

)=1/ρ curl

F

,

(5)

где q — макроскопическая скорость среды (в отличие от микроскопической скорости жидкости).

Теперь напишем q в виде 𝑑D/𝑑t перегруппируем члены в (5). Принимая во внимание (2), получаем

curl

F

= ρ curl ∂²

D

/∂t²,

F

=-G curl curl

D

.

(6)

За исключением некоторых деталей, относящихся к дрейфу, эти уравнения представляют расчленённую форму (1). Теперь определим два новых вектора для того, чтобы ввести дрейф явным образом (выбор символов предусматривает возможность аналогии с электромагнитными полями, как это следует из дальнейшего); пусть из уравнения (3)

∂

E

=∂t=𝑘

₁

(πρL𝑑ξ/𝑑t×

κ

)=𝑘

₁

F

и B=𝑘₂ curl D, где 𝑘₁ и 𝑘₂ — произвольные постоянные. Теперь уравнения (6) принимают вид

curl ∂

E

/∂t = -(𝑘

₁

ρ/𝑘

₁

)∂²

B

/∂t²,

curl

B

= (𝑘

₂

/𝑘

₁

G)∂

E

/∂t.

Если предположить, что установившиеся поля отсутствуют, то интегрирование по времени первого из этих уравнений и приравнивание к нулю даёт аналог вихревых уравнений Максвелла для свободного пространства

curl

E

= -(𝑘

₁

ρ/𝑘

₂

) ∂

B

/𝑑t,

curl

B

= (𝑘

₂

/𝑘

₁

G) ∂

E

/𝑑t

(7)

Так как 𝑘₂ и 𝑘₁ произвольны, то можно выбрать 𝑘₂=ρ𝑘₁ итогда получим

curl

E

= -∂

B

/𝑑t,

curl

B

= (1/c²) ∂

E

/𝑑t

(8)

где c²=G/ρ — квадрат волновой скорости.

Из этого факта, что B есть вихрь вектора, получаем

div

B

= 0.

(8a)

На основании (4) получаем div 𝑑E/𝑑t=0 или div E не зависит от времени. Так как мы предположили, установившиеся поля отсутствуют, то для рассматриваемых частных случаев должно быть

div

E

=0.

(9)

Если выбрать 𝑘₁ безразмерным, то 𝑑E/𝑑t будет иметь размерность силы на единицу объёма, а E — размерность импульса на единицу объёма. Так как curl D безразмерен, то B имеет размерности 𝑘₂ которые при специальном выборе, сделанном для получения уравнения (8), представляют размерность массовой плотности. Волновая скорость должна быть независимой от выбора 𝑘₁ и 𝑘₁ — факт, который подтверждается уравнениями (7).

IV. Заключение

Было показало, что поперечное движение трубок относительно жидкости получается как результат смещений, индуцирующих некомпенсированную кривизну. Это исключает необходимость в «холостых колёсах» и «упругих ячейках» максвелловской модели^48c. Вместе с тем поляризация, вращения и дифференциальные вращения получаются естественным путём, заменяя гипотезу гидростатической устойчивости Мак-Келлога. Как было показано в настоящей статье, уравнения Максвелла также удовлетворяют модели Бернулли, свободной от большей части уродливых особенностей моделей Максвелла и Мак-Келлога.