Статьи и речи

Симметрию вихревых уравнений Максвелла в том виде, как они применяются к вихревой губке, легко истолковать физически. Первое из уравнений (8), аналог закона Фарадея, утверждает, что накопленная завихрённость, создаваемая дрейфом, определяет скорость вращения среды; второе уравнение утверждает, что дифференциальное вращение определяет дрейф. Очевидно, дрейф и сопутствующие ему структурные изменения являются теми свойствами вихревой губки, которые резко отличают её от упругих твёрдых тел. У последних члены, соответствующие 𝑑E/𝑑t, отсутствуют.

Так как эти представления не могут быть проверены наблюдением, то они не обладают физической реальностью. Цель настоящей статьи не в том, чтобы предположить, что Вселенная наполнена эфиром со свойствами, описанными в этой статье. Однако эта статья трактует об эфире и, следовательно, относится к истории развития физики.

Для того чтобы рассматривать задачи математической физики, часто необходимо и почти всегда полезно использовать модель, основное значение которой именно в том, что она полезна в рассматриваемом случае. В этом отношении рассматриваемые понятия относятся к теоретической физике. Следует упомянуть, что польза этой модели не исчерпывается выводом уравнений Максвелла.

Приложение 1. Векторная природа трубок

Для некоторых целей можно разлагать длины трубок подобно векторам — метод, полезный для наглядности.

Длинный круговой цилиндр с циркуляцией 2πκ и поперечной скоростью ξ в жидкости с плотностью ρ подвергается действию подъёмной силы 2πκρξ на единицу длины. И, наоборот, этот цилиндр развивает тягу в противоположном направлении такой же величины на жидкость. Рассмотрим трубку длиной l, где l=il_x+jl_y+kl_z, причём направление совпадает с направлением κ. Пусть 𝑑ξ/𝑑t — скорость дрейфа. Только компонента 𝑑ξ/𝑑t, нормальная к l связана с тягой f, т. е. f=2πκρ𝑑ξ/𝑑t×l.

Рассмотрим теперь тягу, создаваемую трубкой длиною l_y вдоль оси y с вертикальным дрейфом ξ и другую трубку длиною l_z вдоль оси z с горизонтальным дрейфом. Комбинированная тяга параллельна оси x и по величине равна 2πκρ(ξ_yl_z-ξ_zl_y), т.е. точно равна компоненте x силы ƒ. Поэтому отрезки трубок можно разлагать подобно векторам для расчётов тяги, создаваемой дрейфом.

Индуцированная скорость в точке P, создаваемая элементом объёма 𝑑V в Q с завихрённостью ζ_Q равна 𝑑q_P=(𝑑V/4πr³)×ζr, где r — вектор, направленный из Q в P. Для элемента длиною 𝑑l круговой вихревой трубки радиуса α и циркуляции 2πκ произведение ζ_Q𝑑V можно записать в другой форме, заметив, что угловая скорость трубки равна ½ζ_Q, так что скорость на поверхности трубки равна ½ζ_Qα. Но эта скорость равна также κ/α, что учитывая, что 𝑑V=πα²𝑑l, даёт

ς

_Q

=(2κ/α²),

ζ

_Q

𝑑V=(2κ/α²)πα²𝑑

l

=2πκ𝑑

l

Так как 𝑑l можно разложить, то отсюда следует, что скорость, индуцируемая элементом вихревой трубки, такая же самая, как и скорость, индуцируемая её компонентами.

Когда все элементы трубки в единице объёма разложены вдоль x, y, z, то длина разложенной трубки вдоль каждой координаты составляет половину полной длины трубки в этом объёме. Это следует из того факта, что для сферически симметричного распределения единичных векторов среднее значение каждого направляющего косинуса равно ½.

Приложение 2. Кинематика изогнутых трубок

Как было показано^48d, изолированное вихревое кольцо кругового сечения с хорошим приближением перемещается со скоростью

v=

1

2

Kc

⎡

⎣

ln(8/ac)-

1

4

⎤

⎦

,

где c — кривизна кольца, а a — радиус поперечного сечения в предположении, что этот радиус мал по сравнению с радиусом кольца. Направление v совпадает с направлением κ×c, где c — векторная кривизна. Вторым членом в скобках можно пренебречь, так как и a, и c крайне малы по сравнению с единицей.

Рассмотрим теперь сечение трубки с кривизной c. Если c достаточно мало, то индуцированная скорость жидкости в этом сечении, происходящая от отдалённых частей трубки, будет оказывать пренебрежимо малое действие, так что скорость продвижения будет почти такой же, как и у кругового вихревого кольца той же кривизны. Ради простоты рассмотрим трубки, направленные вдоль оси y с малой кривизной с по отношению к положительной оси x. Эти трубки будут смещаться в направлении отрицательных z со скоростью v. Если добавить к с малое увеличение кривизны Δc также вдоль оси x, то скорость станет

v+Δv=½κ(c+Δc)ln[8/a(c+Δc)].

Если Δc достаточно мало, то можно пренебречь степенями Δc/c высшими, чем первая, и разложить правую часть в виде

v+Δv=½κc ln (8/ac)+

⎡

⎣

1

2

κ ln (8/ac)

⎤

⎦

Δ

c=

v+α'

Δ

c, где α=

1

2

κ ln (8/ac).