Стратегические игры

При рассмотрении игр, в которых у обоих игроков есть по три чистые стратегии с возможностью смешивания всех трех, необходимы две переменные, чтобы задать каждую комбинацию стратегий[100]. В комбинации игрока, данные которого отображаются в строках, его первой чистой стратегии соответствует вероятность p₁, а второй — вероятность p₂. Тогда вероятность использования третьей чистой стратегии должна составлять 1 минус сумма вероятностей остальных двух стратегий. То же самое касается комбинации игрока, которому соответствуют столбцы. Таким образом, когда каждый игрок имеет по три чистые стратегии, найти равновесие в смешанных стратегиях без выполнения алгебраических операций с двумя переменными нельзя. Тем не менее зачастую такие алгебраические расчеты вполне выполнимы.

А. Полная комбинация всех стратегий

Рассмотрим упрощенное представление пенальти в футболе. Предположим, выполняющий его игрок, бьющий правой ногой, имеет три чистые стратегии: удар влево, вправо или в центр (налево или направо по отношению к вратарю; для игрока-правши было бы логично отправить мяч направо от вратаря), и может смешивать их с вероятностями, обозначенными как p_л, p_п, p_ц соответственно. Любые две из этих вероятностей можно принять как независимые переменные, а третью выразить через них. Если p_л и p_п — независимые переменные, то p_ц = 1 — p_л — p_п. Вратарь также располагает тремя чистыми стратегиями, а именно двигаться налево от бьющего игрока (направо от самого вратаря), направо от бьющего игрока (налево от вратаря) или оставаться в центре. Кроме того, вратарь может их смешивать с вероятностями q_л, q_п, q_ц, две из которых могут быть выбраны в качестве независимых переменных.

Как и в разделе 6.А, график наилучших ответов для этой игры потребовал бы более двух размерностей. (Точнее говоря, четыре. Вратарь выбрал бы свои две независимые переменные, скажем (q_л, q_п), как свой наилучший ответ на две независимые переменные игрока, выполняющего пенальти (p_л, p_п), и наоборот.) Вместо этого мы снова воспользуемся свойством безразличия соперника, чтобы сфокусироваться на вероятностях чистых стратегий в смешанной стратегии по одному игроку за один раз. В случае каждого игрока вероятности должны быть такими, чтобы другому игроку было безразлично, какую стратегию из имеющихся в его комбинации стратегий выбрать. Это дает нам систему уравнений, которая позволит найти вероятности применения чистых стратегий в смешанной стратегии. В примере с футболом переменные (p_л, p_п) удовлетворяли бы двум уравнениям, выражающим требование о том, что ожидаемый выигрыш вратаря от использования стратегии «налево» должен быть равен ожидаемому выигрышу от применения стратегии «направо», а также что ожидаемый выигрыш вратаря от выбора стратегии «направо» должен равняться ожидаемому выигрышу от выбора стратегии «в центре». (В таком случае равенство ожидаемых выигрышей от применения стратегий «налево» и «в центре» определяется автоматически и не требует отдельного уравнения.) При большем количестве стратегий число вероятностей, подлежащих вычислению, и уравнений, которым они должны удовлетворять, тоже увеличивается.

На рис. 7.10 показана таблица взаимодействия между игроком, выполняющим пенальти, и вратарем, где в качестве выигрышей каждого игрока указаны проценты успешных действий. (В этой таблице для упрощения расчетов приведены не фактические данные европейского футбола, представленные чуть ниже, а аналогичные округленные числа.) Поскольку игрок, бьющий пенальти, хочет максимально увеличить выраженную в процентах вероятность того, что он забьет гол, а вратарь стремится минимизировать вероятность того, что он его пропустит, мы имеем дело с игрой с нулевой суммой. Например, в ситуации, когда бьющий игрок отправит мяч налево от себя, а вратарь сделает движение налево от бьющего игрока (ячейка в верхнем левом углу), мы исходим из предположения, что бьющему игроку все равно удастся забить гол в 45 % случаев, стало быть, вратарь сможет отразить удар в 55 % случаев. Однако если бьющий игрок отправит мяч направо от себя, а вратарь сделает движение налево от него, то у бьющего есть возможность забить гол с вероятностью 90 %; мы исходим из того, что он с вероятностью 10 % может ударить мимо или выше ворот, а значит, вратарь может добиться успеха в 10 % случаев. Вы можете поэкспериментировать с другими, более приемлемыми, на ваш взгляд, значениями выигрышей.

Рис. 7.10. Игра в пенальти в футболе

Легко убедиться, что в этой игре нет равновесия в чистых стратегиях. Поэтому допустимя, что игрок, выполняющий пенальти, смешивает стратегии с вероятностями p_л, p_п и p_ц = 1 — p_л — p_п. По каждой чистой стратегии вратаря эта комбинация обеспечивает ему следующие выигрыши: