Стратегические игры

«Налево»: 55p_л + 15p_ц + 5p_п = 55p_л + 15(1 — p_л — p_п) + 5p_п.

«В центр»: 10p_л + 100p_ц + 5p_п = 10p_л + 100(1 — p_л — p_п) + 5p_п.

«Направо»: 10p_л + 15p_ц + 40p_п = 10p_л + 15(1 — p_л — p_п) + 40p_п.

Правило безразличия соперника гласит, что бьющий игрок должен выбрать p_л и p_п, с тем чтобы в равновесии все три выражения были эквивалентны.

Приравняв выражения, соответствующие стратегиям «налево» и «направо», и упростив полученное равенство, имеем 45p_л = 35p_п, или p_п = (9/7)p_л. Далее приравниваем выражения, соответствующие стратегиям «в центре» и «направо», и упрощаем полученное равенство с помощью только что выведенного соотношения между p_п. Это дает 10p_л + 100[1 — p_л — (9p_л / 7)] + 5(9p_л / 7) = 10p_л + 15[1 — p_л — (9p_л / 7)] + 40 (9p_л / 7), или [85 + 120(9/7)] p_л = 85, что дает p_л = 0,355. Далее получаем p_п = 0,355(9/7) = 0,457 и, наконец, p_ц = 1–0,355 — 0,457 = 0,188. Затем вычисляем с помощью представленных выше трех строк выигрышей выигрыш вратаря от любой из его трех стратегий против этой комбинации стратегий; результат — 24,6.

Вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии вратаря можно определить, записав и решив уравнения безразличия бьющего игрока в отношении его выбора из трех чистых стратегий в игре против комбинации стратегий вратаря. Мы будем это делать в ходе анализа несколько измененного варианта этой игры в разделе 7.Б, поэтому здесь опускаем детали и просто приводим полученный результат: q_л = 0,325, q_п = 0,561 и q_ц = 0,113. Выигрыш бьющего игрока от любой из его чистых стратегий в игре против равновесной комбинации стратегий вратаря составляет 75,4. Разумеется, он согласуется с выигрышем вратаря 24,6, который мы вычислили выше.

Теперь можем разъяснить эти выводы. Игрок, выполняющий пенальти, получит более высокий выигрыш от своей чистой стратегии «направо», чем от чистой стратегии «налево», как в случае, если вратарь правильно угадает его ход (60 > 45), так и если он ошибется (95 > 90). (Предположительно игрок будет бить левой, а значит, может сделать более сильный удар направо.) Таким образом, бьющий игрок выберет с самой высокой вероятностью стратегию «направо», и чтобы противостоять этому, вратарь также с высокой вероятностью выберет стратегию «направо»; однако при таком раскладе выигрыш бьющего в итоге составит всего 60, то есть меньше выигрыша 75,4, который он получит при равновесии в смешанных стратегиях.

Б. Равновесные комбинации, в которых используются не все стратегии

В равновесии из предыдущего примера вероятность применения стратегии «в центре» в смешанной стратегии достаточно низкая для каждого игрока. Комбинация «в центр» / «в центре» привела бы к гарантированному отражению пенальти, и бьющий игрок получил бы поистине низкий выигрыш, то есть ноль. В связи с чем данный игрок присваивает этому выбору низкую вероятность. Но тогда вратарь также должен присвоить выбору этой стратегии низкую вероятность, сосредоточившись на противодействии более вероятным стратегиям бьющего игрока. Но если последний получит достаточно высокий выигрыш от выбора стратегии «в центр», когда вратарь применит «налево» или «направо», то он будет выбирать «в центр» с определенной положительной вероятностью. Если бы выигрыши бьющего игрока в строке, соответствующей стратегии «в центр», были ниже, то он мог бы использовать стратегию «в центр» с нулевой вероятностью; тогда вратарь также присвоил бы нулевую вероятность стратегии «в центре». При таком развитии событий данная игра превратилась бы в игру с двумя базовыми чистыми стратегиями, «налево» и «направо», находящимися в распоряжении каждого игрока.

Этот вариант игры в футбол показан на рис. 7.11. Единственное различие между выигрышами в данной и первоначальной версии игры (рис. 7.10) состоит в том, что выигрыши бьющего игрока от комбинации стратегий «в центр» / «слева» и «в центр» / «справа» сократились еще больше, с 85 до 70. Это могло произойти потому, что бьющему игроку свойственно посылать мяч слишком высоко, а значит, он часто промахивается, целясь в центр. Попробуем вычислить равновесие в этой игре, воспользовавшись тем же методом, что и в разделе 7.А. На этот раз сделаем это с позиции вратаря, попытавшись найти вероятности применения чистых стратегий q_л, q_п и q_ц в смешанной стратегии с помощью условия безразличия бьющего игрока в отношении выбора между тремя чистыми стратегиями в игре против данной комбинации стратегий.

Рис. 7.11. Вариант игры в пенальти в футболе

Выигрыши бьющего игрока от его чистых стратегий составляют: