Стратегические игры

Позиционные методы голосования также порой приводят к парадоксальным результатам. Например, подсчет Борда может обусловить парадокс перестановки при изменении списка кандидатов, предоставленного участникам голосования. Этот парадокс возникает в случае выборов с участием минимум четырех альтернатив, когда одна из них исключается из рассмотрения после подачи голосов, что влечет за собой необходимость их повторного подсчета.

Предположим, отобраны четыре кандидата (Стив Карлтон, Сэнди Коуфакс, Робин Робертс и Том Сивер) на получение специального (гипотетического) памятного приза Сая Янга, который присуждается питчеру высшей лиги бейсбола, завершившему бейсбольную карьеру. Семи известным спортивным комментаторам предлагают ранжировать предпочтения в отношении этих претендентов в своих бюллетенях. Питчер с самым высоким рейтингом в каждом бюллетене получает 4 балла; питчеры, занявшие второе, третье и четвертое места, набирают меньшее количество баллов.

У семи спортивных комментаторов, участвующих в голосовании, есть три разных варианта ранжирования предпочтений в отношении кандидатов на присуждение приза; количество комментаторов, соответствующее каждому варианту ранжирования предпочтений, указано в таблице на рис. 15.2. После подсчета голосов Сивер получает (2 × 3) + (3 × 2) + (2 × 4) = 20 баллов, Коуфакс (2 × 4) + (3 × 3) + (2 × 1) = 19 баллов, Карлтон (2 × 1) + (3 × 4) + (2 × 2) = 18 баллов и Робертс (2 × 2) + (3 × 1) + (2 × 3) = 13 баллов. Сивер побеждает в голосовании, за ним следуют Коуфакс, Карлтон и Робертс.

Рис. 15.2. Предпочтения спортивных комментаторов в отношении питчеров

Но допустим, затем выясняется, что в действительности Робертс не имеет права на получение награды, потому что никогда не получал приз Сая Янга, достигнув пика своей карьеры еще до того, как в 1956 году он был учрежден. Это открытие требует пересчета баллов без учета имени Робертса в бюллетене. Таким образом, верхняя позиция в каждом бюллетене получает 3 балла, вторая и третья 2 и 1 балл соответственно. Бюллетени спортивных комментаторов, например с первым вариантом ранжирования предпочтений, теперь обеспечивают Коуфаксу и Сиверу 3 и 2 балла соответственно, а не 4 и 3 балла, как в предыдущем случае; эти же бюллетени дают Карлтону один балл за последнее место.

Подсчет голосов в случае пересмотренной системы присвоения баллов показывает, что Карлтон набирает 15 баллов, Коуфакс — 14 баллов, а Сивер — 13 баллов. В итоге победитель становится проигравшим, поскольку новые результаты меняют позиции, установленные в первом варианте голосования, причем этот исход получен при отсутствии каких бы то ни было изменений в ранжировании предпочтений. В разделе 3 мы определим ключевой принцип агрегирования голосов, нарушенный при подсчете Борда, который приводит к парадоксу перестановки.

Г. Изменение метода голосования приводит к изменению результата

Как должно следовать из предыдущих объяснений, разные правила голосования могут обеспечивать разные результаты. В качестве примера рассмотрим 100 избирателей, которых можно разбить на три группы на основании их предпочтений в отношении трех кандидатов (А, Б и В). Выбор трех групп избирателей отображен на рис. 15.3. При таких предпочтениях в зависимости от применяемого метода агрегирования голосов у любого из трех кандидатов есть шанс выиграть выборы.

Рис. 15.3. Предпочтения групп избирателей в отношении кандидатов

При использовании принципа относительного большинства выигрывает кандидат А, получивший 40 % голосов, хотя 60 % избирателей отдают ему наименьшее предпочтение из всех троих кандидатов. Очевидно, что сторонники кандидата А выбрали бы этот метод голосования. Если бы у них была возможность выбирать систему голосования, то принцип относительного большинства (на первый взгляд справедливый) обеспечил бы кандидату А победу на выборах, несмотря на сильную неприязнь к нему большинства избирателей.

Однако подсчет Борда привел бы к другому результату. В системе Борда 3 балла получает наиболее рейтинговый среди избирателей кандидат, 2 балла — кандидат, занявший среднюю позицию, и 1 балл — кандидат с наименьшим числом голосов. В таком случае кандидат А имеет 40 голосов за первое и 60 голосов за третье место, что в сумме дает 40(3) + 60(1) = 180 баллов. Кандидат Б получает 25 голосов за первое и 75 голосов за второе место; в сумме это 25(3) + 75(2) = 225 баллов. Кандидат В получает 35 голосов за первое, 25 голосов за второе и 40 голосов за третье место, что в сумме равно 35(3) + 25(2) + 40(1) = 195 баллов. При такой процедуре подсчета голосов побеждает кандидат Б, кандидат В становится вторым, а кандидат А — третьим. Кандидат Б выигрывает выборы и в случае применения метода относительного антибольшинства, при котором избиратели отдают голоса за всех кандидатов, кроме наименее предпочтительного.