Стратегические игры

S7. Выборы с участием трех кандидатов проходят по принципу относительного большинства. Существует множество избирателей, распределенных по шкале идеологического спектра слева направо. Представьте это распределение в виде горизонтальной прямой с двумя крайними точками: 0 (слева) и 1 (справа). Избиратели равномерно распределены по этому спектру, а значит, их количество на любом отрезке прямой пропорционально длине этого отрезка. Таким образом, треть избирателей находятся на отрезке от 0 до 1/3, четверть избирателей — на отрезке от 1/2 до 3/4 и т. д. Каждый избиратель голосует за кандидата, объявленная позиция которого ближе всего к его собственной позиции. У кандидатов нет идеологических привязанностей, поэтому они занимают любую позицию на линии, причем каждый кандидат стремится максимизировать свою долю голосов.

a) Предположим, вы один из трех кандидатов. Крайний левый из оставшихся двух расположен в точке x, а крайний правый — в точке (1 — у), где х + у < 1 (то есть самый правый кандидат находится на расстоянии у от 1). Докажите, что ваш наилучший ответ — занять следующие позиции при заданных условиях:

(i) с небольшим смещением влево от x, если x > y и 3x + y > 1;

(ii) с небольшим смещением вправо от (1 — y), если y > x и x + 3y > 1;

(iii) ровно посредине между двумя другими кандидатами, если 3x + y < 1 и x + 3y < 1.

b) На графике с осями координат x и y покажите области (комбинации значений x и y), в которых каждое из правил ответа [от (i) до (iii) в пункте а] наилучшее.

c) Какой вывод можно сделать на основании анализа равновесия Нэша в игре, где три кандидата выбирают позиции?

Упражнения без решений

U1. Выполните упражнение S1 для ситуации, в которой Б устанавливает порядок голосования и хочет сделать так, чтобы победила социология.

U2. Выполните упражнение S2, определив систему весов в подсчете Борда, при которой победит кандидат Б.

U3. Ежегодно кубок Хайсмана присуждается игрокам университетского футбола посредством подсчета Борда. Каждый голосующий голосует за первое, второе и третье место, присваивая им 3, 2 и 1 балл соответственно. Таким образом, схему присвоения баллов в системе Борда можно обозначить как (3–2–1), где первая цифра — количество баллов, соответствующих голосу за первое место, вторая цифра — за второе и третья — за третье место. В 2004 году голоса за первых пятерых кандидатов на получение кубка по системе Борда распределились так:

a) Сравните суммы баллов, полученные Лейнартом и Питерсоном. С каким отрывом по баллам в системе Борда победил Лейнарт?

b) Кажется вполне справедливым, что схема присвоения баллов должна обеспечивать голосу за первое место как минимум такой же вес, как и голосу за второе место, а голосу за второе место как минимум такой же вес, как и голосу за третье место. Другими словами, в схеме присвоения баллов (x — y — z) должно выполняться условие x ≥ y ≥ z. Существует ли схема присвоения баллов с учетом этого ограничения «справедливости», при которой Лейнарт проиграл бы? Если да, опишите ее. Если нет, обоснуйте свой вывод.

c) Хотя Уайт получил больше голосов за первое место, чем Питерсон, последний набрал большее общее количество баллов в системе Борда. Предположим, голос за второе место получает 2 балла, а за третье 1 балл, то есть схема присвоения баллов такова: (x — 2–1). При каком минимальном целом значении x Уайт получит большее количество баллов в системе Борда, чем Питерсон?

d) Допустим, представленные выше данные о голосовании отображают истинные предпочтения его участников. Для простоты будем считать, что голосование проводится по принципу относительного большинства, а не по методу Борда. Обратите внимание, что и Лейнарт, и Буш из Университета Южной Калифорнии (USC), тогда как Питерсон и Уайт — из Оклахомы. Предположим, что по причине лояльности к Оклахоме все участники голосования, отдающие предпочтение Уайту, ставят на второе место Питерсона. Если бы они использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, могли бы они изменить исход выборов? Обоснуйте свой вывод.

f) Теперь представим, что по причине лояльности к Университету Южной Калифорнии все участники голосования, предпочитающие Буша, ставят на второе место Лейнарта. Если бы все четыре группы голосующих (за Лейнарта, Питерсона, Уайта и Буша) использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, то кто бы получил кубок Хайсмана?

g) В 2004 году за присуждение кубка Хайсмана голосовало 923 человека. При фактической системе присвоения голосов (3–2–1) какое минимальное целое количество голосов понадобилось бы для победы (то есть без помощи голосов, отданных за второе или третье место)? Обратите внимание, что имя игрока может быть указано в бюллетене только один раз.