Стратегические игры

Как обычно, теперь на основании этих примеров запишем обобщенные выводы в алгебраическом виде. Допустим, игрок А рассматривает 1 доллар сейчас как эквивалент (1 + r) долларов, полученных на одно предложение позже, или, что то же самое, 1/(1 + r) долларов сейчас как эквивалент 1 доллара на одно предложение позже. Для краткости будем использовать в расчетах a вместо 1/(1 + r). Аналогичным образом предположим, что игрок Б рассматривает 1 доллар сейчас как эквивалент (1 + s) долларов, полученных на одно предложение позже; будем использовать в расчетах b вместо 1/(1 + s). Если значение r высокое (или, что то же самое, а низкое), значит, игрок А весьма нетерпелив. Точно так же, игрок Б нетерпелив, если значение s высокое (или b низкое).

Мы анализируем переговоры, проходящие в виде чередующихся раундов, с общей суммой 1 доллар, которую нужно разделить между двумя игроками с нулевыми значениями BATNA. (Как только вы поймете этот случай, то без труда сможете проанализировать и более общий случай.) Каким будет равновесие обратных рассуждений в этой игре?

Мы можем найти выигрыши в таком равновесии, расширив представленное выше простое доказательство. Допустим, выигрыш игрока А в равновесии обратных рассуждений равен x, если он делает предложение первым, а игрока Б — y, когда первое предложение вносит он. Мы найдем пару уравнений, связывающих значения x и y, а затем решим их, чтобы определить равновесные выигрыши[310].

Когда игрок А делает предложение, он знает, что должен выделить игроку Б сумму, которую тот считает эквивалентной y в следующем периоде. Эта сумма составляет by = y/(1 + s). После предложения игроку Б игрок А может получить только то, что осталось: x = 1 — by.

Точно так же, когда игрок Б делает предложение, он должен выделить игроку А эквивалент x в следующем периоде, а именно ax. Значит, y = 1 — ax. Теперь решить эти уравнения легче. Мы имеем x = 1 — b(1 — ax), или (1 — ab)x = 1 — b. Если выразить это уравнение через r и s, оно будет выглядеть так:

Аналогичным образом y = 1 — a(1 — by), или (1 — ab)y = 1 — a. Тогда уравнение примет такой вид:

Хотя это быстрое решение может показаться ловким трюком, оно получено в соответствии с теми же действиями, что и используемые ранее; кроме того, немного ниже мы приведем другую аргументацию, дающую точно такой же ответ. Но сначала проанализируем некоторые свойства этого ответа.

Прежде всего обратите внимание, что, как и в примере с разными уровнями терпения, сумма величин x и y больше 1:

Помните, что x — это то, что получает игрок А, когда он вправе сделать первое предложение, а y — то, что в аналогичном случае получает игрок Б. Когда игрок А делает предложение первым, игрок Б получает (1 — x), что меньше y; это подтверждает преимущество игрока А в случае, если он делает первое предложение. Точно так же, когда игрок Б делает предложение первым, он получает y, а игрок А (1 — y), что меньше x.

Однако r и s — как правило, небольшие числа. Когда предложения могут быть сделаны с короткими промежутками, скажем, через неделю, или один день, или один час, процент, который может быть начислен на ваши деньги за период между ними, или вероятность того, что игра закончится именно на протяжении следующего промежутка, достаточно мала. Например, если r равно 1 % (0,01), а s — 2 % (0,02), то формулы дают x = 0,668 и y = 0,337, а значит, преимущество от права сделать первое предложение составляет всего 0,005. (Игрок А получает 0,668, когда он сам делает первое предложение, но 1–0,337 = 0,663, когда его делает игрок Б; разница — 0,005.) Строго говоря, когда r и s — небольшие числа по сравнению с 1, то их произведение rs на самом деле очень мало; следовательно, мы можем исключить rs из формулы приближенного решения задачи разделения, не зависящей от того, какой игрок делает первое предложение:

Теперь x + y примерно равно 1.

Важно то, что в приближенном решении x и y — это доли излишка, которые достаются двум игрокам, а y/x = r/s; другими словами, доли игроков обратно пропорциональны их степени нетерпения, выраженной в виде r и s. Если игрок Б в два раза нетерпеливее игрока А, то игрок А получит в два раза больше, чем игрок Б; значит, их доли составляют 1/3 и 2/3, или 0,333 и 0,667 соответственно. Таким образом, мы видим, что терпение — важное преимущество в переговорах. Наш формальный анализ подтверждает интуитивный вывод о том, что, если вы очень нетерпеливы, другой игрок может предложить вам быструю, но невыгодную сделку, зная, что вы на нее согласитесь.