Стратегические игры

Рассмотрим переговорный процесс между двумя игроками с нулевыми значениями BATNA. Начнем с того, что один из них (скажем, игрок А) делает предложение о разделении 1 доллара. Если другой (игрок Б) отклонит его, то у него появится возможность сделать свое предложение в следующем раунде. Оба игрока находятся в одинаковом положении, когда каждый делает предложение, поскольку подлежащая разделению сумма всегда равна 1 доллару. Таким образом, в случае равновесия сумма (назовем ее x), которая достается игроку, делающему предложение в текущий момент, одна и та же, независимо от того, кто именно вносит предложение, А или Б. С помощью метода обратных рассуждений найдем уравнение, которое можно решить относительно x.

Предположим, игрок А начинает процесс чередования предложений. Он знает, что игрок Б может получить x в следующем раунде, когда наступит его очередь делать предложение. Поэтому игрок А должен выделить игроку Б сумму, которая как минимум эквивалентна (с точки зрения игрока Б) получению x в следующем раунде; другими словами, сейчас игрок А должен предложить игроку Б минимум 0,95x. (Не забывайте, что для игрока Б 95 центов немедленно эквивалентны 1 доллару в следующем раунде; значит, 0,95x сейчас — так же хорошо, как и x в следующем раунде.) Игрок А не выделит игроку Б больше, чем требуется для того, чтобы склонить игрока Б принять предложение. В итоге игрок А предлагает игроку Б ровно 0,95x, а себе оставляет (1–0,95x). Но сумма, получаемая игроком А в момент, когда он делает предложение, равна тому, что мы обозначили как x. Стало быть, x = 1–0,95x, или (1 + 0,95)x = 1, или x = 1/1,95 = 0,512.

Следует обратить внимание на два аспекта этих вычислений. Во-первых, хотя процесс допускает неограниченную последовательность чередующихся и встречных предложений, в случае равновесия самое первое предложение, которое делает игрок А, будет принято и игра завершится. Поскольку время имеет свою ценность, этот исход эффективен. От издержек в связи с промедлением зависит, сколько игрок А должен предложить игроку Б, чтобы добиться его согласия, а значит, это также влияет на обратные рассуждения игрока А. Во-вторых, игрок, который делает предложение первым, получит больше половины «пирога», а именно 0,512, а не 0,488. Стало быть, каждый игрок получает больше, когда первое предложение делает именно он, а не соперник. Но это преимущество гораздо меньше, чем в ультимативной игре, в которой нет будущих раундов со встречными предложениями.

Теперь предположим, что оба игрока не в равной степени терпеливы (или нетерпеливы, в зависимости от обстоятельств). Игрок Б по-прежнему считает, что 1 доллар в следующем раунде эквивалентен 95 центам сейчас, а игрок А приравнивает 1 доллар в следующем раунде к 90 центам в настоящий момент. Следовательно, игрок А готов принять меньшую сумму, чтобы получить ее быстрее, то есть он более нетерпелив. Такое неравенство уровней нетерпения может привести к неравным выигрышам от переговорного процесса в случае равновесия. Для того чтобы найти равновесие в данном примере, обозначим символом x сумму, которую получит игрок А, если он начинает процесс, и символом y сумму, которую получит игрок Б, если процесс начнет он.

Игрок А знает, что должен выделить игроку Б минимум 0,95y, иначе Б отклонит предложение в пользу суммы y, которую, как ему известно, он сможет получить, когда наступит его очередь делать предложение. Таким образом, сумма x, которую получит игрок А, должна равняться 1–0,95y, то есть x = 1–0,95y. Аналогичным образом, когда процесс начинает игрок Б, он знает, что должен выделить игроку А минимум 0,90x и тогда y = 1–0,90x. Эти два уравнения можно решить относительно x и y:

x = 1–0,95(1–0,9x),

[1–0,95(0,9)]x = 1–0,95,

0,145x = 0,05,

x = 0,345.

y = 1–0,9(1–0,95y),

[1–0,9(0,95)]y = 1–0,9,

0,145y = 0,10,

y = 0,690.

Обратите внимание, что сумма x и y не равна 1, поскольку каждая из этих величин представляет собой выигрыш соответствующего игрока при условии, что он делает предложение первым. Таким образом, когда первое предложение делает игрок А, он получает 0,345, а игрок Б 0,655; когда первое предложение делает Б, он получает 0,69, а игрок А 0,31. Опять же, каждый игрок получает более высокий результат, когда именно он делает первое предложение, и снова разница незначительна.

Исход варианта игры с разными уровнями нетерпения существенно отличается от исхода предыдущей игры с одинаковыми уровнями нетерпения. При разных уровнях нетерпения более нетерпеливый игрок А получает намного меньше, чем игрок Б, даже тогда, когда у него есть возможность сделать первое предложение. Мы предполагали, что игрок, соглашающийся на меньшую сумму, чтобы получить ее быстрее, получит в итоге меньше, но разница действительно впечатляющая. Соотношение долей игрока А и Б составляет почти 1 к 2.