Стратегические игры

Поскольку отец хочет, чтобы его дети не конфликтовали, он получит 2 дополнительные единицы полезности, если дети выберут одно и то же занятие (не имеет значения, какое именно).

a) Постройте дерево с выигрышами для этой игры с тремя участниками.

b) Какое равновесие обратных рассуждений имеет в ней место? Обязательно опишите стратегии, а не только выигрыши.

c) Сколько разных полных стратегий находится в распоряжении Барта? Обоснуйте свой ответ.

d) Сколько разных полных стратегий у Кэсси? Обоснуйте ответ.

U10 (дополнительное, более трудное упражнение). Рассмотрим дерево игры Survivor, представленное на рис. 3.11. Мы могли не угадать точные значения, которые Рик присвоил вероятностям различных исходов, поэтому давайте обобщим это дерево, проанализировав другие возможные значения. В частности, предположим, что вероятность победы в испытании на получение иммунитета в случае, если Рик выберет вариант «продолжить», составляет x для Рика, y для Келли и 1 — x — y для Руди; точно так же вероятность победы в случае отказа Рика от дальнейшей борьбы равна z для Келли и 1 — z для Руди. Далее допустим, что шанс Рика на то, что его выберет жюри, составляет p, если он выиграет испытание на получение иммунитета и проголосует за изгнание Руди с острова, и q, если Келли выиграет испытание и проголосует за изгнание Руди с острова. Предположим также, что, если Руди выиграет испытание на получение иммунитета, он поддержит Рика с вероятностью 1 и станет победителем в игре с вероятностью 1, если войдет в число двух финалистов. Обратите внимание, что в примере, отображенном на рис. 3.11, были такие значения: x = 0,45, y = 0,5, z = 0,9, р = 0,4 и q = 0,6. (В общем случае переменные p и q необязательно должны в сумме составлять 1, хотя именно так получилось на рис. 3.11.)

a) Найдите алгебраическую формулу, выраженную через x, y, z, p, q, для определения вероятности того, что Рик выиграет миллион долларов, если выберет вариант «продолжить». (Обратите внимание: формула может включать в себя не все переменные.)

b) Найдите аналогичную алгебраическую формулу для определения вероятности того, что Рик выиграет миллион долларов, если выберет вариант «прекратить». (Опять же, формула может не включать в себя все переменные.)

c) Используйте эти результаты для поиска алгебраического неравенства, указывающего, при каких обстоятельствах Рику следует выбрать вариант «прекратить».

d) Предположим, значения всех переменных те же, что и на рис. 3.11, кроме z. Насколько высоким или низким может быть значение z, чтобы Рик по-прежнему предпочел вариант «прекратить»? Объясните на интуитивном уровне, почему при некоторых значениях z Рику лучше выбрать вариант «продолжить».

e) Допустим, значения всех переменных те же, что и на рис. 3.11, за исключением p и q. Предположим также, что, поскольку жюри с большей вероятностью выберет того, кто не станет голосовать против Руди, значения p и q должны удовлетворять условию p > 0,5 > q. При каких значениях коэффициента p/q Рику следует выбрать вариант «прекратить»? Объясните на интуитивном уровне, почему при некоторых значениях p и q для Рика предпочтительнее вариант «продолжить».

Глава 4. Игры с одновременными ходами: дискретные стратегии

* * *

Игрой с одновременными ходами, как пояснялось в главе 2, считается игра, в которой игроки делают ходы, не зная о выборе соперников. Очевидно, что такая ситуация складывается в случае, когда игроки действуют одновременно, а также когда они выбирают действия обособленно, не располагая информацией о действиях других игроков, даже если этот выбор делается в разное время. (Именно поэтому в играх с одновременными ходами имеет место несовершенная информация в том смысле, о котором мы говорили в разделе 2.Г главы 2.) Эта глава посвящена играм, в которых присутствует только одновременное взаимодействие между игроками. Мы рассмотрим различные типы игр с одновременными ходами, опишем концепцию их решения под названием «равновесие Нэша» и проанализируем игры без, с одним и несколькими равновесиями.

К категории игр с одновременными ходами можно отнести многие из знакомых вам стратегических ситуаций. Различные производители телевизоров, стереосистем или автомобилей принимают решения о дизайне и свойствах продукта, не зная о контраргументах конкурентов. Избиратели на выборах одновременно отдают свои голоса, не зная о предпочтениях других избирателей. В футболе взаимодействие между вратарем и нападающим противника во время пенальти требует одновременного решения обоих: вратарь не может себе позволить ждать удара по мячу, чтобы определить его траекторию, поскольку тогда уже будет слишком поздно.