Стратегические игры

В такой форме можно представить многие простые иллюстративные примеры, в которых одно действительное число (такое как цена) выбирается для максимального увеличения другого, зависимого от него действительного числа (например, прибыль или выигрыш). В приложении к этой главе описан простой общий метод выполнения операции максимизации; вы найдете немало случаев его применения. Здесь же мы просто приводим формулу.

Функция, которую мы хотим максимизировать, задается следующим общим уравнением:

Y = A + BX–CX².

Мы использовали обозначение Y для величины, которую нужно максимизировать, и X для величины, которую хотим выбрать, чтобы максимизировать Y. В нашем конкретном примере прибыль π_x будет представлена в виде Y, а цена P_х в виде X. Точно так же, хотя в любой конкретной задаче члены приведенного выше уравнения А, В и С были бы известны, мы обозначили их общими алгебраическими символами, с тем чтобы наша формула была применима ко множеству аналогичных задач. (Формальный термин, которым обозначаются члены А, В и С, — параметры, или алгебраические константы.) Поскольку большинство случаев практического применения подразумевают наличие неотрицательных значений X, таких как цены, а также максимизацию значения Y, необходимо, чтобы выполнялось условие В > 0 и С > 0. Тогда формула, позволяющая выбрать X для максимизации Y с учетом известных значений А, В и С, будет выглядеть так: Х = В/2С. Обратите внимание, что А в ней отсутствует, хотя это, безусловно, влияет на полученное в результате значение Y.

Сравнив общую функцию в уравнении выше и конкретный пример функции прибыли в игре в ценообразование на предыдущей странице, получим[59]

В = 60 + P_y и С = 2.

Следовательно, цена, которую выберет ресторан Xavier’s для максимального увеличения прибыли, будет удовлетворять формуле В/2С и составит

P_х = 15 + 0,25 P_y.

Это уравнение определяет значение P_х, при котором прибыль ресторана Xavier’s будет максимальной при соответствующем значении цены ресторана Yvonne’s P_y. Иными словами, это и есть то, что нам нужно: правило наилучшего ответа ресторана Xavier’s.

Правило наилучшего ответа ресторана Yvonne’s можно найти аналогичным способом. Поскольку затраты на обслуживание клиентов и объемы продаж двух ресторанов полностью симметричны, очевидно, что это уравнение будет иметь такой вид:

P_у = 15 + 0,25 P_х.

Оба правила используются одним и тем же способом для построения графиков наилучших ответов. Например, если Xavier’s назначит цену 16, то Yvonne’s введет это значение в свое правило наилучшего ответа, чтобы найти P_у = 15 + 0,25 (16) = 19; точно так же наилучший ответ ресторана Xavier’s на значение цены ресторана Yvonne’s P_у = 16 составляет P_х = 19, наилучший ответ каждого ресторана на цену другого 4 равен 16, на цену 8 — 17 и т. д.

На рис. 5.1 приведены графики этих двух правил наилучшего ответа. В силу особенностей нашего примера (линейная зависимость между объемом продаж и назначенными ценами, а также постоянные издержки на приготовление каждого блюда) оба графика наилучших ответов представляют собой прямые линии. При других характеристиках спроса и затрат они могут не быть прямыми линиями, но метод их построения тот же, а именно: сначала зафиксировать цену одного ресторана (скажем, P_у), а затем найти значение цены другого ресторана (например, P_х), которая максимизирует прибыль второго ресторана, и наоборот.

Рис. 5.1. Графики наилучших ответов и равновесия в игре «ценообразование в ресторанах»

Точка пересечения двух графиков наилучшего ответа — это равновесие Нэша в игре в ценообразование между двумя ресторанами. Она представляет пару цен (по одной на каждую компанию), которые являются наилучшими ответами друг на друга. Конкретные значения для равновесной стратегии ценообразования каждого ресторана можно вычислить алгебраически, решив два правила наилучших ответов относительно P_x и P_y. Мы намеренно выбрали такой пример, чтобы уравнения были линейными и легко решаемыми. В данном случае мы просто подставим формулу для P_x в формулу для P_y и получим следующее уравнение:

P_y = 15 + 0,25P_х = 15 + 0,25(15 + 0,25P_y) = 18,75 + 0,0625P_y.

Последнее уравнение можно упростить до P_y = 20. Ввиду симметричности задачи не составит труда найти, что P_x = 20[60]. Таким образом, в равновесном состоянии каждый ресторан назначит цену 20 долларов на блюда в своем меню и получит 12 долларов прибыли на каждых 2400 клиентов (2400 = (44 — 2 × 20 + 20) × 100), которых обслуживает за месяц, что обеспечит общий объем прибыли 28 800 долларов в месяц.

Б. Некоторые экономические аспекты олигополии