Структура реальности. Наука параллельных вселенных

Различные ошибки, которые математики во все времена допускали в том, что касается доказательств и их надёжности, вполне естественны. Настоящее обсуждение должно сформировать ожидание того, что современная точка зрения тоже не будет вечной. Но уверенность, с которой математики держались за эти недоразумения, а также их неспособность признать саму возможность ошибки во всём этом — следствие, на мой взгляд, древней и широко распространённой путаницы между методами математики и её предметом. Сейчас я это поясню. В отличие от отношений между физическими сущностями, отношения между абстрактными сущностями не зависят от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Они полностью и объективно определяются автономными свойствами самих абстрактных сущностей. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким образом, изучает абсолютно необходимые истины. Другими словами, истины, изучаемые математикой, являются абсолютно надёжными. Но это не значит, что наше знание этих необходимых истин само по себе является надёжным и методы математики придают необходимую истинность своим выводам. Как-никак, математика изучает ещё и ложные утверждения и парадоксы. И это не означает, что выводы из подобного изучения непременно являются ложными или парадоксальными.

Необходимая истина — это всего лишь предмет математики, а не награда, которую мы получаем за занятия математикой. Математическая уверенность не является и не может являться целью математики. Её целью является даже не математическая истина, надёжная или какая-нибудь ещё. Её целью является и должно являться математическое объяснение.

Почему же тогда математика работает так, как она работает? Почему она ведёт к выводам, которые, несмотря на отсутствие надёжности, можно принимать и без проблем применять в течение тысячелетий? Причина в том, что некоторая часть нашего знания физического мира столь же надёжна и непротиворечива. А когда мы понимаем физический мир достаточно хорошо, мы также понимаем, какие физические объекты имеют общие свойства с абстрактными. Но, в принципе, надёжность нашего знания математики остаётся зависимой от нашего знания физической реальности. Корректность каждого математического доказательства полностью зависит от того, правы ли мы относительно законов, управляющих поведением некоторых физических объектов, будь то генераторы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственный мозг.

Таким образом, математическая интуиция — это вид физической интуиции. Физическая интуиция — это набор эмпирических правил (часть из которых, возможно, врождённые, а большинство — развившиеся в детстве) о том, как ведёт себя физический мир. Например, у нас есть интуитивное представление о существовании физических объектов и того, что эти объекты обладают определёнными свойствами: формой, цветом, массой и положением в пространстве, и некоторые из этих свойств существуют, даже когда за этими объектами не наблюдают. Другое такое представление заключается в том, что существует физическая переменная — время, — по отношению к которой свойства изменяются, но тем не менее объекты способны сохранять свою идентичность с течением времени. Ещё одно заключается в том, что объекты взаимодействуют, и это взаимодействие может изменить некоторые их свойства. Математическая интуиция относится к тому способу, которым физический мир может демонстрировать свойства абстрактных сущностей. Одним из таких интуитивных представлений является абстрактный закон или, по крайней мере, объяснение, лежащее в основе поведения объектов. Интуитивное представление о том, что пространство допускает замкнутые поверхности, отделяющие «внутреннюю часть» от «наружной части», можно уточнить, преобразовав её в математическую интуицию множества, разделяющего всё на члены и не-члены этого множества. Однако дальнейшее уточнение математиками (начиная с опровержения Расселом теории множеств Фреге) показало, что это представление перестаёт быть точным, когда рассматриваемое множество содержит «слишком много» членов (слишком большую степень бесконечности членов).