Супермозг

– Очень просто, – ответил он. – Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления еще одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, то есть кучи песка нет.

Ответ:

Это «парадокс кучи». В приведенном рассуждении второй приятель воспользовался методом полной математической индукции. Однако этот метод нельзя применять в рассуждениях, подобных этой задаче, ибо в них не определено само понятие «кучи песчинок».

Задача. Теннисный мячик

Теннисный мяч угодил прямо в норку суслика, который вырыл ее на корте загородного клуба. Норка оказалась столь глубока, а изгиб ее столь причудлив, что достать мяч с помощью палки было сложно. Однако всего за пару минут игрок справился с заданием. Как ему удалось заполучить мяч, не перекопав при этом весь корт?

Ответ:

Он опустил в норку шланг и наполнил ее водой, после чего теннисный мяч «выплыл» оттуда сам.

Задача. Числа и черта

Числа от одного до девяти расставлены в порядке возрастания, только почему-то одни из них находятся над чертой, а другие – под ней. Отгадайте, сверху или снизу должно стоять число 10?

1 5 7

________________

2 3 4 6 8 9

Ответ:

Числа в числителе имеют по четыре буквы, а в знаменателе – разное количество, значит 10 нужно поставить в знаменатель.

Задача. Геометрическая прогрессия

Выразите число тринадцать в виде суммы трех слагаемых, образующих между собой геометрическую прогрессию. Вариантов несколько!

Ответ:

1, 3, 9;

1, -4, 16;

9,-12, 16;

13, -13, 13.

Пройдите лабиринт

Пройдите лабиринт

Задача. Два мудреца

Двух мудрецов предупредили, что завтра их поставят напротив друг друга и у каждого на лбу напишут цифру 1 или 2 (цифры могут быть одинаковыми). Каждый из них должен на бумажке написать свою предполагаемую цифру. Как действовать мудрецам, чтобы хотя бы один заведомо угадал свою цифру? Во время испытания нельзя разговаривать, подавать знаки и т. д.

Ответ:

Мудрецы договариваются перед испытанием, что первый всегда пишет цифру, указанную на лбу у второго, а второй – цифру, противоположную той, которая на лбу у первого.

Задача. Надувная игрушка

Внутри пасхального яйца – надувная игрушка. Покупатель спросил владельца магазина, можно ли купить только надувную игрушку без пасхального яйца. Продавец ответил, что цена яйца с сюрпризом – четыре с половиной доллара, а цена яйца без сюрприза – на четыре доллара больше, чем цена игрушки. Сколько покупатель должен заплатить за игрушку?

Ответ:

Игрушка стоит 25 центов, а яйцо – 4 доллара 25 центов, то есть на 4 доллара дороже, чем игрушка.

Задача. Имена и числа

Если Дмитрий – 10, Василиса – 20, Петр и Глеб – по 5, а Ольга – 10. Сколько Дженнифер, в той же самой системе?

Ответ:

Дженнифер в этой системе будет 15. Каждый слог в имени дает по 5 очков. Так как в имени Дженнифер имеется 3 слога, то общее число 15.

Задача. Яблоки в корзине

На расстоянии метра одно от другого лежат в ряд сто яблок, и на расстоянии метра же от первого яблока садовник принес и поставил корзинку. Спрашивается, какой длины путь совершит он, если возьмется собирать эти яблоки так, чтобы брать их последовательно одно за другим и каждое отдельно относить в корзину, которая все время стоит на одном и том же месте?

Ответ:

Нужно подойти к каждому яблоку и возвратиться обратно к корзине. Значит, число пройденных метров будет равно удвоенной сумме первых ста чисел, или сто раз взятому числу 101, то есть 10100. Это составит более 10 километров. Садовник, конечно, очень утомится!

Задача. Круг с числами

По кругу написано 2009 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых четна.

Ответ:

Доказываем от противного. Предположим, что для любых двух соседних чисел их сумма будет нечетной. Это означает, что одно из них четное, а другое нечетное, т. е. четные и нечетные числа чередуются через одно. Зафиксируем одно произвольное число. Пусть оно будет четным. Его сосед слева будет нечетным, левый сосед соседа будет опять четным и т. д. по цепочке придем опять к зафиксированному числу. Т. к. число переходов равно 2009 (нечетное), то зафиксированное должно быть оказаться нечетным, что невозможно. Получаем противоречие, т. е. первоначальное предположение было неверным, и найдутся два соседних числа, сумма которых четна.

Задача. Ящики с тыквами

Есть два одинаковых кубических ящика, доверху наполненных тыквами. В первом лежат 27 крупных, а во втором 64 мелких тыквы. Какой ящик тяжелее?

Предполагается, что:

1. Все тыквы шарообразны.

2. В каждом из ящиков все тыквы одинаковы по размерам.

3. Удельный вес тыквы не зависит от его размера.

4. В обоих ящиках тыквы уложены вплотную доверху так, что в каждом слое находится по одинаковому числу их.

Ответ: