Светлые века. Путешествие в мир средневековой науки

Справа на гравюре изображена фигура равной значимости: это Пифагор. Великий греческий философ выкладывает на счетной доске числа 1241 и 82. Самая дальняя от него линия – это тысячи, следующая – сотни, и так далее, но обратите внимание: между линиями десятков и сотен выделено место для полусотен. Боэций же демонстрирует индо-арабские цифры и их преимущества для записи дробей. Между ними стоит госпожа Арифметика, ее платье украшено степенями двойки и тройки. Хотя в конечном итоге индо-арабские цифры, для операций с которыми достаточно было пера и бумаги, победили (чем они в значительной степени обязаны появлению бухгалтерского учета и сложных банковских операций), счетные доски благодаря своей бесспорной универсальности продолжали применяться и в Новое время. В умелых руках они не уступают электронным калькуляторам. В 1946 году в Токио состоялось захватывающее публичное состязание между японским абацистом и американцем, считавшим на калькуляторе. Победу одержал абацист, который в решении серии сложных математических задач продемонстрировал как невероятную скорость, так и высокую точность вычислений[67].

Менее опытным пользователям счетная доска могла пригодиться для записи промежуточных результатов вычислений. Средневековые математики знали множество способов упростить вычисления, разбивая задачу на серию операций, которые можно было произвести в уме или с помощью абака. Джон Вествик наверняка владел какими-то из них. Один способ, который называют по-разному: умножением по методу русских крестьян или египетским методом, был придуман независимо в нескольких странах, и ему вполне могли обучать и в Сент-Олбанской школе. Он сводит объемные и сложные примеры на умножение и деление к серии удвоений и делений пополам. Популярность этого метода может объяснить, почему в первых учебниках арифметики, использующей новые индо-арабские цифры, умножению и делению числа на два учили как отдельным операциям – чему-то среднему между сложением и умножением.

Красота метода удвоения и деления пополам – в том, что единственное, что вам нужно знать, – это как прибавить число к самому себе. Пусть вам нужно умножить 43 на 13. Запишите эти числа рядом и начинайте удваивать большее и делить пополам меньшее (отбрасывая остаток). Вот что у вас получится:

Когда разделить на два больше не получается, вычеркните строчки, в которых число в колонке деления четное (в нашем случае это 86; 6), и сложите числа, оставшиеся в первой колонке. У вас получится 43 х 13 = 43 + 172 + 344 = 559. Немного попрактиковавшись, можно научиться считать очень быстро – и, так как здесь используется устный счет, провернуть этот номер с римскими цифрами не труднее, чем с индо-арабскими. Метод работает, потому что основывается на том, что любое число можно разложить на степени двойки. Например, 43 х 13 = 43 х (1 + 4 + 8)[68].

То же и с делением. Скажем, вы хотите разделить 729 на 34 (или DCCXXIX на XXXIV). Просто удваивайте 34 до тех пор, пока не сможете сделать это, не переходя за 729:

Теперь, начиная с нижней линии, складывайте числа (выбирая большие), чтобы подобраться как можно ближе к 729 (придется немного попрактиковаться). Когда вы это сделаете, суммируйте степени двойки, указанные рядом с вашими слагаемыми, и получите ответ. Например:

DXLIV (ряд 16) + СXXXVI (ряд 4) + XXXIV (ряд 1) = DCCXIV.

Итак, 729 / 34 = 16 + 4 + 1= 21 (остаток 15).

И снова результат можно высчитать в уме, но, если бы Джон Вествик считал с помощью абака, он обнаружил бы, что римские числа прекрасно укладываются в его колонки и расшифровать ответ несложно. А вот чтобы записать итог индо-арабскими цифрами, нужно было подумать чуть дольше.

Если рука набита, никакой сложности эти приемы не представляют. Овладев ими и имея счетные доски, монахи не видели необходимости отказываться от системы, которая прекрасно служила их предшественникам. Если же в силу специфики научных интересов и занятий им приходилось то и дело умножать и делить, проще было составить таблицу умножения римских чисел, а не обучаться новой арифметике с нуля[69]. Такие справочные таблицы и счетные доски Джон Вествик всегда держал под рукой в годы учебы в Сент-Олбанской грамматической школе. Они немало ему послужили, прежде чем растущий интерес к астрономии не заставил его перейти на новые цифры и приемы умножения, принятые в индо-арабском «алгорисмусе».

Путь от школьной скамьи до вступления в монашеский орден занял у Джона Вествика не менее десяти лет. Надев наряд послушника (за который ему пришлось отдать круглую сумму в 5 фунтов – своего рода вступительный взнос), он зубрил правила и обычаи монастырской жизни. Ее основные принципы почти не изменились за тысячу лет, минувшую с того дня, когда святой Бенедикт составил устав своего ордена[70].