Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Спустя два с половиной тысячелетия после открытия теорема Пифагора находит самые разные математические и научные способы применения. Это математическое достижение, оказавшееся, возможно, столь живучим благодаря своей простоте, сохраняет свою важность при вычислении длин, площадей и объемов разнообразных фигур. В квадрате со стороной х диагональ будет равна х√2; в прямоугольнике со сторонами х и у диагональ равна √(х² + у²⁾; в параллелограмме (например, в коробке из- под обуви) размерами х, у, z диагональ составит √(х² + у² + z²⁾; в конусе с высотой h и радиусом основания r образующая равняется √(h² + r²⁾... и так можно продолжать очень долго.

РИС. 13

РИС. 14

Теорема Пифагора также лежит в основе декартовой системы координат на плоскости и в пространстве и позволяет определить расстояние d(P,Q) между двумя точками Р= (x₁,y₁) и Q= (х₂, у₂), как показано на рисунке 13. Применяя теорему, получаем:

Расстояние (P,Q) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²⁾·

В любом расчете, который предусматривает применение функций, проявляется пифагорово отношение, учитывая, что y = ƒ(x) в декартовом выражении. Теорема используется и в тригонометрии. С величинами углов прямоугольного треугольника связаны такие функции, как синус, косинус, тангенс... (см. рисунок 14), так что:

sin А = a/c cos А = b/c tg А = a/b.

Таким образом, в тригонометрических терминах теорему Пифагора можно выразить как отношение sin² А + cos² А = 1. Теореме можно найти применение в топографии, картографии, навигации — морской или воздушной, — а также, конечно, в архитектуре, инженерном деле и во всех областях человеческой деятельности, где требуется расчет размеров. Чтобы показать исключительную важность теоремы в тригонометрии, можно привести следующий рисунок. Кроме того, что на нем мы видим круг и прямоугольный треугольник, катеты которого представляют собой синус и косинус, этот рисунок демонстрирует нам и многие другие величины, соответствующие большинству тригонометрических функций. Там можно найти тангенс, представляющий собой соотношение между синусом и косинусом, три взаимозависимых функции: секанс (то есть 1, деленное на косинус), косеканс (функция, обратная синусу) и котангенс (функция, обратная тангенсу). Таким образом, благодаря вездесущей теореме Пифагора приведенный на рисунке прямоугольный треугольник позволяет вывести очень много интересных соотношений, среди которых шесть тригонометрических функций.

tg²θ +1 = sec²θ,

ctg²θ +1 = cosec²θ,

(tg θ +1 )² + (ctg θ +1 )² = (sec θ + cosec θ)².

РИС. 15

РИС. 16

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА В ДРУГИХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ

Нет сомнений, что пифагорово соотношение тесно связано с конкретной геометрической фигурой — прямоугольным треугольником. Однако если принять во внимание классическое изображение этой теоремы в виде «ветряной мельницы», где три квадрата составлены так, что их стороны образуют катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, сами собой появляются некоторые вопросы. Что будет, если использовать квадраты для построения любого треугольника? Что будет, если они образуют параллелограмм?

РИС. 17

РИС. 18

Если соединить тремя отрезками квадраты при прямоугольном треугольнике, образуется шестиугольник, в котором

появятся три новых треугольника с площадями Т₁, Т₂ и Т₃ (см. рисунок 15). Каковы их площади? Во всех случаях их площади в точности равны площади исходного треугольника: Т₁ = Т₂ = Т₃ = Т. На рисунке 16 показано, что Т = Т₁, так как у обоих треугольников одинаковы основание и высота. Для других треугольников также действительно это соотношение. Если взять любой произвольный треугольник АВС, то можно построить на его сторонах три квадрата и задать вопрос, каково соотношение площадей этих квадратов. Возьмем, к примеру, треугольник с острым углом (A < 90°). Решение показано на рисунке 17. На нем проведены три высоты треугольника. Эти высоты продолжены так, чтобы соответствующие прямые делили каждый квадрат, построенный на сторонах треугольника, на два прямоугольника. Подставляя длины сторон, получаем, что площадь верхнего правого прямоугольника равна с · (a cos В). Удивительно, что такова же и площадь нижнего правого прямоугольника. Площади секций слева равны b · (a cos С). Добавляем еще два сегмента с площадями b · (с cos А) и получаем результат:

a² = b² + c² - 2 · b · c · cosA,

по закону косинуса.

Таким образом, если А = 90°, cos 90°= 0, и мы получаем b² + с² = а², известное пифагорово соотношение. Таким образом, закон косинуса — это продолжение теоремы Пифагора. Еще одно удивительное свойство проявляется, если построить четыре квадрата на сторонах параллелограмма. Как можно видеть на рисунке 18, сумма площадей этих квадратов равна сумме площадей двух квадратов, построенных на диагоналях параллелограмма.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ