Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

По словам Прокла, Евклид родился ок. 325 года до н.э., жил и преподавал в Александрии и умер прибл. в 265 году до н.э. Кроме того, Прокл утверждает (и это выглядит весьма правдоподобным), что, судя по особенностям его работы, Евклид, возможно, обучался в школе Платона или у кого-то из его учеников. Таким образом, по сведениям Прокла, Евклид жил в эллинистический период. Это более вероятно, чем то, что он жил в классической Греции, учитывая, что в его книге есть отсылки к знаниям той эпохи. Так, Евклид сгруппировал описываемые им открытия способом, непохожим на то, как это делали греки классического времени. Тот же Прокл говорит, что Евклид собрал результаты философа и математика Евдокса (ок. 390-337 до н.э.) в области теории пропорций и математика Теэтета (ок. 417-369 до н.э.) в области правильных многоугольников и что в целом представил в своей книге неопровержимые доказательства множества теорем своих предшественников, о которых дошли лишь скудные сведения. Не сохранилось изначальной редакции труда самого Евклида, так что его тексты приходится реконструировать по комментариям и заметкам более поздних авторов, особенно византийских, латинских и арабских.

Евклид, занимающийся геометрией. С рельефа Андреа Пизано, XIV век (Музей Домского собора, Флоренция).

Теорема показывает также, как получить квадрат, по площади равный двум заданным квадратам, то есть как найти такое значение х, при котором х² = а² + b², так что это еще один пример применения геометрической алгебры. Если предложение 47 представляет собой кульминацию первой книги «Начал», то еще более интересно, как впоследствии Евклид доказывает теорему, ей обратную. Это предложение 48, которому обычно уделяется не так много внимания, но которое имеет огромное логико-дедуктивное значение. В нем постулируется, что если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других, то угол, который образуют эти стороны, прямой (см. рисунок 10).

РИС. 10

Доказательство состоит в том, чтобы построить отрезок CD, перпендикулярный АС и равный СВ. Согласно заданным условиям:

ВС²+АС²=АВ²,

и, так как треугольник ADC прямоугольный,

АС² + CD²=AD².

Поскольку ВС = CD, АВ² = AD², то, следовательно, АВ = AD. Следовательно, треугольники ADC и АВС конгруэнтны, а угол АСВ, равный углу ACD, прямой.

Евклид приводит и графическое доказательство, где квадраты, выстроенные на катетах, превращаются в параллелограммы той же площади (так как они имеют то же основание и ту же высоту), а те, в свою очередь, трансформируются в квадрат, построенный на гипотенузе. Это гениальное доказательство представлено на рисунке 11.

РИС. 11

Оксирннхский папирус 29, фрагмент «Начал», датированный II—IV веками (Филадельфия).

Фрагмент «Афинской школы» Рафаэля, Евклид изображен с циркулем. С противоположной стороны фрески находится Пифагор (Рим).

Теорема Пифагора числится среди имеющих наибольшее число возможных способов доказательства. Одно из объяснений этого явления в том, что в Средние века представление нового способа ее доказательства было одним из условий получения степени Magister matheseos, то есть магистра математики, и в известном смысле это умение стало со временем универсальным показателем общего образования человека.

РИС. 12

Гениальный Леонардо да Винчи (1452-1519) был образцом универсального человека эпохи итальянского Возрождения, поскольку блестящим образом сочетал в себе знания в самых разных областях — как в сфере науки, так и искусства. Человек, который запечатлел таинственную красоту Джоконды и изобрел бесчисленные удивительные механизмы, смог представить собственное блестящее доказательство теоремы Пифагора. Леонардо основывался на знаменитой фигуре «мельницы», то есть треугольника с квадратами, построенными на трех его сторонах. К ним сверху он добавил треугольник ECF, а снизу разместил копию исходного треугольника А'С В' (см. рисунок 12). Проведя отрезки DD' и СС', служащие друг другу перпендикулярами, можно убедиться, что DD' делит верхний шестиугольник ABDEFD' на симметричные половины, которыми, если их развернуть друг относительно друга, можно полностью накрыть шестиугольник АСВА'С'В'. Следовательно, два квадрата, построенные на катетах, в сумме дают площадь, равную площади квадрата, построенного на гипотенузе.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА СЕГОДНЯ