Тени разума. В поисках науки о сознании

Вряд ли с ученым может приключиться что-либо более нежеланное, чем потрясение основ его мировоззрения сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бумаге. Именно в такое положение поставило меня письмо от г-на Бертрана Рассела…

Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допускают ошибки — порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне исправимой. Разве мы не убедились (в §2.10, комментарий к Q13) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рассуждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и в §2.10, лишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообщества. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность которых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадлежат к категории принципиальных вопросов, разве не так? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражению Q13, поскольку теперь у нас есть формальная система F, которая, возможно, лежит в основе нашего математического понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки — или «оговорки», — которые может допустить отдельный математик, рассуждая в рамках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упущение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаключений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт наличия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречивости установлен не был, то математики могли бы еще долгое время считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фундаменте собственные системы.

Впрочем, полагаю, в данном случае крайне маловероятно, что многим математикам удалось бы в течение сколько-нибудь длительного срока наслаждаться той свободой умопостроений (в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла система Фреге. Причина в том, что парадоксы типа парадокса Рассела довольно легко обнаружить. Можно представить себе какой-нибудь гораздо более тонкий парадокс, например, такой, что неявным образом содержится в тех или иных полагаемых нами на данный момент неопровержимо истинными математических процедурах, — парадокс, о котором никто не узнает еще, быть может, многие века. Необходимость в смене привычных правил мы осознаем лишь тогда, когда такой парадокс наконец себя проявит. Короче говоря, наша математическая интуиция не зиждется на каких-то непреходящих в веках установлениях, а напротив, непрерывно меняется под сильным воздействием идей, которые прекрасно «работали» прежде, и соображений, последствия применения которых пока что «сходят нам с рук». Такая точка зрения отнюдь не исключает возможности существования в основе нашего теперешнего математического понимания некоего алгоритма (или формальной системы), однако этот алгоритм не является чем-то неизменным, по мере обнаружения новых данных он подвергается непрерывной модификации. К изменяющимся алгоритмам мы еще вернемся несколько позднее (см. §§3.9-3.11, а также §1.5), где и убедимся в том, что это по-прежнему все те же алгоритмы, только в ином обличье.