Тени разума. В поисках науки о сознании

Наконец, в связи с возможной необоснованностью нашей гипотетической системы F, вернемся ненадолго к другим аспектам человеческой «неточности», о которых мы говорили выше (см. комментарии к возражениям Q12 и Q13). Прежде всего повторю: нас в данном случае интересуют не вдохновение, не гениальные догадки и не эвристические критерии, способные привести математика к великим открытиям, но лишь понимание и проникновение в суть, на фундаменте которых покоятся его неопровержимые убеждения в отношении математических истин. Эти убеждения могут оказаться всего-навсего результатом ознакомления с рассуждениями других математиков, и в этом случае о каких бы то ни было элементах математического открытия говорить, разумеется, не приходится. А вот когда мы нащупываем путь к какому-то подлинному открытию, и впрямь весьма важно дать размышлениям свободу, не ограничивая их изначально необходимостью в полной достоверности и точности (у меня сложилось впечатление, что именно это имел в виду Тьюринг в приведенной выше цитате, см. §3.1). Однако когда перед нами встает вопрос о принятии или отклонении тех или иных доводов в поддержку неопровержимой истинности выдвигаемого математического утверждения, необходимо полагаться лишь на понимание и проницательность (нередко в сопровождении громоздких вычислений), которым ошибки принципиально не свойственны.

Я вовсе не хочу сказать, что математики, полагающиеся на понимание, не делают ошибок, — делают, и даже часто: понимание тоже можно применить некорректно. Безусловно, математики допускают ошибки и в рассуждениях, и в понимании, а также в сопутствующих вычислениях. Однако склонность к совершению подобных ошибок, в сущности, не усиливает их способности к пониманию (хотя я, пожалуй, могу представить себе, каким образом подобные случайные обстоятельства могут порой привести человека к нежданному, скажем так, озарению). Что более важно — эти ошибки исправимы; их можно распознать как ошибки, когда на них укажет какой-либо другой математик (или даже впоследствии сам автор). Совсем иначе обстоит дело, когда понимание математика контролируется некоей внутренне ошибочной формальной системой F: в рамках такой системы невозможно распознать ее собственные ошибки. (Что касается возможности существования самосовершенствующейся системы, которая модифицирует самое себя всякий раз, как обнаруживает в себе противоречие, то о ней мы поговорим несколько позднее, «на подступах» к противоречию §3.14. Там же мы и обнаружим, что и от такого предположения в данном случае пользы мало; см. также §3.26.)

Ошибки несколько иного рода возникают при неверной формулировке математического утверждения; в этом случае выдвигающий утверждение математик, возможно, имеет в виду нечто совсем отличное от того, что он буквально утверждает. Впрочем, такие ошибки также исправимы и не имеют ничего общего с теми внутренними ошибками, причиной которых является понимание, опирающееся на необоснованную систему F (здесь уместно вспомнить фразу Фейнмана, которую мы цитировали в связи с возражением Q13: «Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!»). Мы с вами здесь для того, чтобы выяснить, что в принципе может (либо не может) быть установлено каким угодно математиком (человеком); ошибки же, подобные только что рассмотренным, — т.е. исправимые ошибки — никакого отношения к этой проблеме не имеют. Важнейший, пожалуй, для всего нашего исследования момент: круг идей и понятий, доступных математическому пониманию, непременно должен включать в себя центральную идею доказательства Гёделя—Тьюринга; на этом, собственно, основании мы и не рассматриваем всерьез возможность I, а возможность II полагаем крайне невероятной. Как уже отмечалось выше (в комментарии к возражению Q13), идея доказательства Гёделя—Тьюринга, безусловно, должна являться частью того, что в принципе в состоянии понять математик, даже если какое-то конкретное утверждение «G(F)», на котором этот математик, возможно, основывается, ошибочно — лишь бы ошибка была исправимой.

С возможной «необоснованностью» предполагаемого алгоритма математического понимания связаны и другие вопросы, о которых не следует забывать. Эти вопросы касаются процедур «восходящего» типа — таких, к примеру, как самоусовершенствующиеся алгоритмы, алгоритмы обучения (в том числе и искусственные нейронные сети), алгоритмы с дополнительными случайными компонентами, а также алгоритмы, операции которых обусловлены внешним окружением, в котором функционируют соответствующие алгоритмические устройства. Некоторые из упомянутых вопросов были затронуты ранее (см. комментарий к возражению Q2), подробнее же мы рассмотрим их при обсуждении случая III, к каковому обсуждению мы как раз и приступаем.

3.5. Может ли алгоритм быть непознаваемым?