Тени разума. В поисках науки о сознании

М. И. К.: Не нужно приписывать нам ваши мелочные человеческие побуждения. Но ты, разумеется, прав в том, что я просто не могу смириться с мыслью, что существуют Π₁-высказывания, доступные людям и недоступные нам, роботам. Роботы-математики просто не могут в чем бы то ни было уступать математикам-людям — хотя я, пожалуй, могу допустить обратную ситуацию: какое-нибудь конкретное Π₁-высказывание, доступное роботам, может быть, в принципе, получено и людьми… когда-нибудь в отдаленном будущем, учитывая ваши темпы работы. Я не намерен мириться лишь с тем, что какое-то Π₁-высказывание может быть принципиально недоступно нам, в то время, как вы, люди, с легкостью его получаете.

А. И.: Помнится, еще Гёдель размышлял о возможности существования вычислительной процедуры, подобной процедуре Q, только применительно к математикам-людям — он, кажется, называл ее «машиной для доказательства теорем», — которая была бы способна генерировать только те Π₁-высказывания, доказательство истинности которых было бы, в принципе, по силам математикам-людям. Не думаю, что он и в самом деле верил в то, что такая машина может существовать в действительности, — он просто не смог математически исключить такую возможность. У нас здесь, похоже, имеется как раз такая «машина», но уже для роботов, я имею в виду процедуру Q, которая может генерировать все доступные роботам Π₁-высказывания, в то время как ее собственную обоснованность вы доказать не в состоянии. Впрочем, зная лежащие в основе вашей конструкции алгоритмические процедуры, мы сами можем добраться до этой самой процедуры Q и оценить ее истинность — но только в том случае, если вы убедите нас в том, что действительно никогда не ошибаетесь в ваших ☆-утверждениях.

М. И. К.: (после едва заметной паузы) Хорошо. Полагаю, ты думаешь приблизительно так: нельзя ведь совсем исключить вероятность того, что члены СМИСР будут время от времени ошибочно присваивать тем или иным утверждениям ☆-статус. Полагаю, возможно и такое, что члены СМИСР не убеждены безоговорочно в том, что присвоение ими ☆-статуса неизменно происходит безошибочно. Таким образом, утверждение G(Q) может и не приобрести ☆-статуса, и противоречие исчезнет само собой. Заметь себе, это вовсе не означает, что я признаюсь в том, что мы, роботы, намеренно делаем ошибочные ☆-утверждения. Это означает лишь, что у нас нет абсолютной уверенности в обратном.

А. И.: Ты хочешь сказать, что, хотя вы и даете абсолютную гарантию истинности каждого отдельного ☆-утвержденного Π₁-высказывания, никто не может гарантировать, что в некотором наборе таких высказываний не окажется ни одного ошибочного? Сдается мне, это противоречит всей концепции «неопровержимой уверенности», что бы под этим термином не подразумевалось.

Постой-ка… может быть, это как-то связано с тем, что возможных Π₁-высказываний бесконечно много? Мне почему-то вспомнилось об условии ω-непротиворечивости, которое, если не ошибаюсь, имеет какое-то отношение к гёделевскому утверждению G(Q).