Тени разума. В поисках науки о сознании

В квантовой механике имеется стандартная процедура для исследования систем из двух и более независимых компонентов. Эта процедура понадобится нам, в частности, при рассмотрении с квантовой точки зрения (которое мы планируем дать в §5.18) системы, состоящей из двух далеко разнесенных в пространстве частиц со спином 3/2 — тех самых частиц, которые «Квинтэссенциальные Товары» поместили в магические додекаэдры (см. §5.3). Необходима такая процедура и для квантовомеханического описания детектора в момент сцепления его состояния с квантовым состоянием регистрируемой частицы.

Рассмотрим для начала систему, состоящую всего из двух независимых (невзаимодействующих) компонентов. Допустим, что каждый из этих компонентов (в отсутствие другого) описывается своим вектором состояния — скажем, |α〉 и |β〉. Как описать всю систему, в которой присутствуют оба компонента? Обычная процедура заключается в составлении так называемого тензорного (или внешнего) произведения этих векторов, которое записывается следующим образом:

|α〉|β〉.

Мы можем рассматривать это произведение как стандартный квантовомеханический способ представления обыкновенного логического «И» — в том смысле, что такая система объединяет в себе в некоторый момент времени обе независимые квантовые системы, представленные, соответственно, векторами состояния |α〉 и |β〉. (Например, |α〉 может представлять электрон, находящийся в точке A, а |β〉 — атом водорода в некоторой отдаленной точке B. Тогда состояние, в котором электрон находится в точке A, а атом водорода — в точке B, будет представлено произведением |α〉|β〉.) Величина |α〉|β〉 представляет одно квантовое состояние — мы вполне можем обозначить его одним вектором состояния, скажем, |х), и, не нарушив ни одного закона, записать

|χ〉 = |α〉|β〉.

Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний |α〉 + |β〉 или, в общем случае, z|α〉 + w|β〉, где z и w — комплексные весовые коэффициенты. Например, если |α〉 и |β〉 — возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках A и B), то запись |α〉 + |β〉 также представляет возможное состояние того же самого фотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между A и B в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, — одного фотона, заметим, никак не двух. Состояние пары фотонов, при котором один находится в точке A, а другой — в точке B, будет представлено уже вектором |α〉|β〉.

Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:

(z|α〉)|β〉 = z(|α〉|β〉) = |α〉(z|β〉),

(|α〉 + |γ〉)|β〉 = |α〉|β〉 + |γ〉|β〉,

|α〉(|β〉 + |γ〉) = |α〉|β〉 + |α〉|γ〉,

(|α〉|β〉)|γ〉 = |α〉(|β〉|γ〉).

разве что равенство |α〉|β〉 = |β〉|α〉, строго говоря, некорректно. Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия «И» в квантовомеханическом контексте предполагает, что совокупная система «|α〉 и |β〉» физически чем-то отличается от совокупной системы «|β〉 и |α〉». Мы попробуем обойти эту проблему посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью |α〉|β〉 мы будем подразумевать не то, что математики называют «тензорным произведением», а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:

|α〉|β〉 = ±|β〉|α〉.

Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, когда оба состояния (|α〉 и |β〉) «охватывают» нечетное количество частиц с нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермионами, а их спин принимает значения 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …. Частицы со спином 0, 1, 2, 3, … называются бозонами и на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, «|α〉 и |β〉» ничем не отличается от «|β〉 и |α〉».

Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через |α〉, |β〉 и I7), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением

|α〉|β〉|γ〉,

причем грассманово произведение (|α〉|β〉)|γ〉 (или, что эквивалентно, |α〉(|β〉|γ〉)) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.