Тени разума. В поисках науки о сознании

Вовсе нет. Предполагается, что наше рассуждение применимо лишь к тому пониманию, которое позволяет заключить, что вычисление не завершается, но никак не к тому пониманию, благодаря которому мы приходим к противоположному выводу. Гипотетический алгоритм A вовсе не обязан достигать «успешного завершения», обнаружив что то или иное вычисление завершается. Не в этом заключается его смысл.

Если вас такое положение дел не устраивает, попробуйте представить алгоритм A следующим образом: пусть A объединяет в себе оба вида понимания, но в том случае, когда выясняется, что вычисление C_q(n) действительно завершается, алгоритм A искусственно зацикливается (т.е. выполняет какую-то операцию снова и снова, бесконечное количество раз). Разумеется, на самом деле математики работают иначе, однако дело не в этом. Наше рассуждение построено как reductio ad absurdum[12], т.е. начав с допущения, что для установления математической истины используются заведомо обоснованные алгоритмы, мы в итоге приходим к противоположному выводу. Такое доказательство не требует, чтобы гипотетическим алгоритмом непременно оказался какой-то конкретный алгоритм A, мы вполне можем заменить его на другой алгоритм, построенный на основе A, — как, например, в только что упомянутом случае.

Этот комментарий применим и к любому другому возражению вида: «А что если алгоритм A завершится по какой-либо совершенно посторонней причине и не даст нам доказательства того, что вычисление C_q(n) не завершается?». Если нам вдруг придется иметь дело с алгоритмом «A», который ведет себя подобным образом, то мы просто применим представленное в §2.5 обоснование к немного другому A — к такому, который зацикливается всякий раз, когда исходный «A» завершается по любой из упомянутых посторонних причин.

Q4. Судя по всему, каждое вычисление C_q в предложенной мною последовательности C₀, C₁, C₂, … является вполне определенным, тогда как при любом прямом переборе (численном или алфавитном) компьютерных программ ситуация, конечно же, была бы иной?

В самом деле, было бы весьма затруднительно однозначно гарантировать, что каждому натуральному числу q в нашей последовательности действительно соответствует некое рабочее вычисление C_q. Например, описанная в НРК последовательность машин Тьюринга T_q этому условию, конечно же, не удовлетворяет; см. НРК, с. 54. При определенных значениях q машину Тьюринга T_q можно назвать «фиктивной» по одной из четырех причин: ее работа никогда не завершается; она оказывается «некорректно определенной», поскольку представление числа n в виде двоичной последовательности содержит слишком много (пять или более) единиц подряд и, как следствие, не имеет интерпретации в данной схеме; она получает команду, которая вводит ее в нигде не описанное внутреннее состояние; или же по завершении работы она оставляет ленту пустой, т.е. не дает никакого численно интерпретируемого результата. (См. также Приложение А.) Для приведенного в §2.5 доказательства Гёделя—Тьюринга вполне достаточно объединить все эти причины в одну категорию под названием «вычисление не завершается». В частности, когда я говорю, что вычислительная процедура A «завершается» (см. также примечание [9]), я подразумеваю, что она «завершается» как раз в вышеупомянутом смысле (а потому не содержит неинтерпретируемых последовательностей и не оставляет ленту пустой), — иными словами, «завершиться» может только действительно корректно определенное рабочее вычисление. Аналогично, фраза «вычисление C_q(n) завершается» означает, что данное вычисление корректно завершается именно в этом смысле. При такой интерпретации соображение Q4 не имеет совершенно никакого отношения к представленному мною доказательству.

Q5. Не является ли мое рассуждение лишь демонстрацией неприменимости некоей частной алгоритмической процедуры (A) к выполнению вычисления C_q(n)? И каким образом оно показывает, что я справлюсь с задачей лучше, чем какая бы то ни было процедура A?