Тени разума. В поисках науки о сознании

Оно и в самом деле вполне однозначно показывает, что мы справляемся с такого рода задачами гораздо лучше любого алгоритма. Поэтому, собственно, я и воспользовался в своем рассуждении приемом reductio ad absurdum. Пожалуй, в данном случае уместно будет привести аналогию. Читателям, вероятно, известно о евклидовом доказательстве невозможности отыскать наибольшее простое число, также основанном на reductio ad absurdum. Доказательство Евклида выглядит следующим образом. Допустим обратное: такое наибольшее простое число нам известно; назовем его p. Теперь рассмотрим число N, которое представляет собой сумму произведения всех простых чисел вплоть до p и единицы:

N = 2 × 3 × 5 × … × p + 1.

Число N, безусловно, больше p, однако оно не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5, ..., p (поскольку при делении получаем единицу в остатке), откуда следует, что N либо и есть искомое наибольшее простое число, либо оно является составным, и тогда его можно разделить на простое число, большее p. И в том, и в другом случае мы находим простое число, большее p, что противоречит исходному допущению, заключавшемуся в том, что p есть наибольшее простое число. Следовательно, наибольшее простое число отыскать нельзя.

Такое рассуждение, основываясь на reductio ad absurdum, не просто показывает, что требуемому условию не соответствует некое частное простое число р, поскольку можно отыскать число больше него; оно показывает, что наибольшего простого числа просто не может существовать в природе. Аналогично, представленное выше доказательство Гёделя—Тьюринга не просто показывает, что нам не подходит тот или иной частный алгоритм А, оно демонстрирует, что в природе не существует алгоритма (познаваемо обоснованного), который был бы эквивалентен способности человека к интуитивному пониманию, которую мы применяем для установления факта незавершаемости тех или иных вычислений.

Q6. Можно составить программу, выполняя которую, компьютер в точности повторит все этапы представленного мною доказательства. Не означает ли это, что компьютер оказывается в состоянии самостоятельно прийти к любому заключению, к какому пришел бы я сам?

Отыскание конкретного вычисления C_k(k) при заданном алгоритме А, безусловно, представляет собой вычислительный процесс. Более того, это можно достаточно явно показать[13]. Означает ли это, что предположительно неалгоритмическая математическая интуиция — интуиция, благодаря которой мы определяем, что вычисление C_k(k) никогда не завершается, — на деле является все же алгоритмической?

Думаю, данное суждение следует рассмотреть более подробно, поскольку оно представляет собой одно из наиболее распространенных недоразумений, связанных с гёделевским доказательством. Следует особо уяснить, что оно не сводит на нет ничего из сказанного ранее. Хотя процедуру отыскания вычисления C_k(k) с помощью алгоритма A можно представить в виде вычисления, это вычисление не входит в перечень процедур, содержащихся в A. И не может входить, поскольку самостоятельно алгоритм A не способен установить истинность C_k(k), тогда как новое вычисление (вкупе с A), судя по всему, вполне на это способно. Таким образом, несмотря на то, что с помощью нового вычисления действительно можно отыскать вычисление C_k(k), членом клуба «официальных установителей истины» оно не является.