Тени разума. В поисках науки о сознании

В своем гёделевском доказательстве (в частности, в утверждении (M)) я использовал аргумент следующего вида: «Допущение о ложности X приводит к противоречию; следовательно, утверждение X истинно». Под «X» в данном случае следует понимать утверждение: «Вычисление C_k(k) не завершается». Это рассуждение относится к типу reductio ad absurdum; что же касается доказательства Гёделя в целом, то оно и в самом деле построено именно таким образом. Направление же в математике, называемое «интуиционизмом» (у истоков которого стоял голландский математик Л. Э. Я. Брауэр; см. [223] и НРК, с. 113-116), отрицает возможность построения обоснованного доказательства на основе reductio ad absurdum. Интуиционизм возник приблизительно в 1912 году как реакция на некоторые сформировавшиеся к концу девятнадцатого — началу двадцатого века математические тенденции, суть которых сводится к следующему: математический объект можно полагать «существующим» даже в тех случаях, когда нет никакой возможности этот объект так или иначе воплотить в действительности. А надо сказать, что слишком вольное применение крайне расплывчатой концепции математического существования и впрямь приводит порой к весьма неприятным противоречиям. Самый известный пример такого противоречия связан с парадоксальным «множеством всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рассела. (Если множество Рассела является членом самого себя, то оно таковым не является; если же оно членом самого себя не является, то оно им, как ни странно, является! Подробнее см. §3.4 и НРК, с. 101.) Дабы противостоять общей тенденции, в рамках которой могут считаться «существующими» весьма вольно определенные математические объекты, интуиционисты полагают необоснованным математическое рассуждение, позволяющее делать вывод о существовании того или иного математического объекта на основании одной лишь противоречивости его несуществования. Доказательство существования объекта посредством reductio ad absurdum не дает абсолютно никаких оснований полагать, что упомянутый объект действительно можно построить.

Каким же образом запрет на применение reductio ad absurdum может повлиять на наше гёделевское доказательство? Вообще говоря, совсем не может, по той простой причине, что reductio ad absurdum мы применяем, если можно так выразиться, наоборот, то есть противоречие в нашем случае выводится из допущения, что нечто существует, а не из обратного допущения. С интуиционистской точки зрения все выглядит совершенно законно: мы заключаем, что объект не существует, на том основании, что противоречие возникает как раз из допущения о существовании этого самого объекта. Предложенное мною гёделевское доказательство, по сути своей, является в интуиционистском смысле абсолютно приемлемым. (См. [223], с. 492.)

Аналогичные рассуждения применимы и ко всем прочим «конструктивистским» или «финитистским» направлениям в математике, о каких мне известно. Комментарий к возражению Q8 демонстрирует, что даже та точка зрения, согласно которой последовательность натуральных чисел нельзя считать «на самом деле» бесконечной, не освобождает нас от неизбежного вывода: для установления математической истины мы таки не пользуемся познаваемо обоснованными алгоритмами.

2.7. Некоторые более глубокие математические соображения

Для того чтобы лучше разобраться в значении гёделевского доказательства, полезно будет вспомнить, с какой, собственно, целью оно было первоначально предпринято. На рубеже веков ученые, деятельность которых была связана с фундаментальными математическими принципами, столкнулись с весьма серьезными проблемами. В конце XIX века — в значительной степени благодаря глубоко оригинальным математическим трудам Георга Кантора (с «диагональным доказательством» которого мы уже познакомились) — математики получили в распоряжение эффективные методы доказательства некоторых наиболее фундаментальных своих результатов, основанные на свойствах бесконечных множеств. Однако с этими преимуществами оказались связаны и не менее фундаментальные трудности, проистекающие из чересчур вольного обращения с концепцией бесконечного множества. Особо отметим парадокс Рассела (на который я уже ссылался в комментарии к Q9, см. также §3.4 — Кантор о нем также упоминает), обозначивший некоторые препятствия, подстерегающие склонных к опрометчивым умозаключениям. Тем не менее, все понимали, что если вопрос о допустимости тех или иных методов рассуждения продумать с достаточной тщательностью, то можно добиться очень и очень впечатляющих математических результатов. Проблема, по всей видимости, сводилась к отысканию способа, посредством которого можно было бы в каждом конкретном случае абсолютно точно определить, была ли соблюдена при выборе метода рассуждения «достаточная тщательность».