Тени разума. В поисках науки о сознании

Для строгого формалиста вопрос о том, является ли то или иное утверждение о бесконечных множествах действительно истинным в сколько угодно абсолютном смысле, не обязательно имеет смысл и, уж конечно же, не имеет никакого существенного отношения к процедурам формалистской математики. Таким образом, поиски абсолютной математической истины в отношении утверждений, связанных с упомянутыми бесконечными величинами, заменяются стремлением продемонстрировать непротиворечивость и полноту соответствующих формальных систем. Какие же математические правила допустимо использовать для такой демонстрации? Достойные доверия, прежде всего, причем формулировка этих правил ни в коем случае не должна основываться на сомнительных рассуждениях с привлечением слишком вольно определяемых бесконечных множеств (типа множества Рассела). Была надежда на то, что в рамках некоторых сравнительно простых и очевидно обоснованных формальных систем (например, такой достаточно элементарной системы, как арифметика Пеано) отыщутся логические процедуры, которых будет достаточно для того, чтобы доказать непротиворечивость других, более сложных, формальных систем — скажем, системы F, — непротиворечивость которых уже не столь бесспорна и в рамках которых допускаются формальные рассуждения об очень «больших» бесконечных множествах. Если принять философию формалистов, то подобное доказательство непротиворечивости для F, как минимум, даст основание для использования методов рассуждения, допустимых в рамках системы F. Затем можно доказывать математические теоремы, применяя концепцию бесконечных множеств тем или иным непротиворечивым образом, а может, удастся и вовсе избавиться от необходимости отвечать на вопрос о реальном «смысле» таких множеств. Более того, если удастся показать, что система F является еще и полной, то можно будет вполне резонно счесть, что эта система действительно содержит абсолютно все допустимые математические процедуры, т.е. представляет собой, в некотором смысле, полное описание математического аппарата рассматриваемой области.

Однако в 1930 году (публикация состоялась в 1931) Гёдель взорвал свою «бомбу», раз и навсегда показав, что идеал формалистов принципиально недостижим. Он продемонстрировал, что не может существовать формальной системы F, которая была бы одновременно и непротиворечивой (в некоем «сильном» смысле, который мы рассмотрим в следующем разделе), и полной, — при условии, что F считается достаточно мощной, чтобы сочетать в себе формулировки утверждений обычной арифметики и стандартную логику. Таким образом, теорема Гёделя справедлива для таких систем F, в рамках которых арифметические утверждения типа теоремы Лагранжа и гипотезы Гольдбаха (см. §2.3) формулируются как утверждения математические.

В дальнейшем мы будем рассматривать только те формальные системы, которые являются достаточно обширными, чтобы содержать в себе необходимые для действительной формулировки теоремы Гёделя арифметические операции (а также, в случае нужды, и операции какой угодно машины Тьюринга; см. ниже). Говоря о какой-либо формальной системе F, я обычно буду подразумевать, что она действительно достаточно обширна в этом смысле. Это допущение не отразится на наших рассуждениях сколько-нибудь существенным образом. (Тем не менее, рассматривая формальные системы в таком контексте, я, для пущей ясности, буду иногда снабжать их эпитетом «достаточно обширная» или иным подобным.)

2.8. Условие ω -непротиворечивости