Тени разума. В поисках науки о сознании

Что же касается собственно моих спецификаций, следует упомянуть еще один формальный момент. Представленный мною в §2.5 вариант доказательства Гёделя(—Тьюринга) опирается не на непротиворечивость системы F, а на обоснованность алгоритма A, и являет собой критерий для установления незавершаемости вычислений (т.е. истинности Π₁-высказываний). Этот вариант подходит нам ничуть не хуже любых других, поскольку известно, что из обоснованности алгоритма A следует истинность утверждения о незавершаемости вычисления C_k(k), каковое явное утверждение (тоже Π₁-высказывание) мы имеем полное право использовать вместо высказывания G(F). Более того, как отмечалось выше (см. §2.8), доказательство, вообще говоря, зависит не от непротиворечивости формальной системы F, а от ее ω-непротиворечивости. Из обоснованности системы F очевидно следует ее непротиворечивость, равно как и ω-непротиворечивость. Если допустить, что система F обоснованна, то ни Ω(F), ни G(F) из ее правил (см. §2.8) не следуют, однако оба эти высказывания являются истинными.

Думаю, можно с уверенностью заключить, что какое бы «постепенное размывание» убежденности того или иного математика ни сопровождало переход от убеждения в обоснованности формальной системы F к убеждению в истинности высказывания G(F) (или Ω(F)), оно будет целиком и полностью обусловлено возможностью ошибки в точной формулировке полученного им высказывания «G(F)». (To же применимо и к высказыванию Ω(F).) Все это не имеет непосредственного отношения к настоящему обсуждению — при наличии подлинной (не случайной) формулировки высказывания G(F) никакого размывания убежденности происходить не должно. Если формальная система F неопровержимо обоснованна, то ее высказывание G(F) столь же неопровержимо истинно. Все формы заключения G (G**, G***) остаются неизменными при условии, что под «истинностью» подразумевается «неопровержимая истинность».

Q14. Нет никаких сомнений в том, что формальная система ZF — или некоторая стандартная ее модификация (обозначим ее через ZF*) —действительно включает в себя все необходимое для серьезной математической деятельности. Почему бы просто не принять эту систему за основу, смириться с недоказуемостью ее непротиворечивости и продолжить свои математические изыскания?

Полагаю, такая точка зрения весьма и весьма распространена среди практикующих математиков, особенно тех, кто не слишком углубляется в фундаментальные основы или философию своего предмета. Подобное отношение вполне естественно для людей, главной заботой которых является просто хорошее выполнение серьезной, пусть и математической, работы (хотя в действительности такие люди крайне редко выражают свои результаты в рамках строгих правил формальных систем, подобных ZF). Согласно этой точке зрения, математика имеет дело лишь с тем, что можно доказать или опровергнуть в рамках некоей конкретной формальной системы — такой, например, как ZF (или какая-либо ее модификация ZF*). С высоты такой позиции математическая деятельность и в самом деле напоминает своего рода «игру». Назовем ее ZF-игрой (или ZF*-игрой), причем играть в эту игру следует в соответствии с правилами, установленными в рамках данной системы. Такой подход характерен для формалиста, подлинный же формалист мыслит исключительно в терминах ИСТИННОГО и ЛОЖНОГО, которые не обязательно совпадают с истинным и ложным в их повседневном смысле. Если формальная система обоснованна, то все, что является истинным, и будет истинным, а все, что ЛОЖНО, будет ложным. Однако наверняка найдутся высказывания, формализуемые в рамках данной системы, которые, будучи истинными, не являются ИСТИННЫМИ, и другие, которые, будучи ложными, не являются ЛОЖНЫМИ, иными словами, в обоих случаях эти высказывания оказываются НЕРАЗРЕШИМЫМИ. Если система ZF непротиворечива, то в ZF-игре гёделевское высказывание[17] G(ZF) и его отрицание ~ G(ZF) принадлежат, соответственно, к этим двум категориям. (Более того, окажись система ZF противоречивой, то и высказывание G(ZF), и его отрицание ~ G(ZF) были бы ИСТИННЫМИ и ЛОЖНЫМИ одновременно!)