Теорема Гёделя

Далеко не все математики (по разным причинам) согласились с тезисом Фреге-Рассела, согласно которому математика есть не что иное, как часть логики. Кроме того, как мы уже отмечали, антиномии канторовской теории бесконечных множеств, если не принять специальных мер предосторожности, легко воспроизводятся и в рамках чистой логики. Но независимо от степени приемлемости самого по себе тезиса Фреге-Рассела два достоинства системы P. M. позволяют считать ее неоценимым достижением на пути к дальнейшему изучению проблемы непротиворечивости. В Principia разработана замечательная своей краткостью система обозначений, при помощи которой все предложения чистой математики (в частности, арифметики) могут быть записаны некоторым стандартным образом. Кроме того, в этой книге явным образом сформулировано большинство правил вывода, используемых в математических доказательствах (быть может, известных и ранее, но не в столь точном и полном виде). Резюмируя, можно сказать, что в Principia создан весьма совершенный инструмент для исследования всей системы арифметики как неинтерпретированного исчисления, т. е. как системы бессмысленных значков, из которых посредством точно сформулированных правил образуются и преобразуются «строчки» знаков — формулы.

5 Один пример абсолютного доказательства непротиворечивости

Нам придется теперь выполнить вторую задачу из упомянутых в начале предыдущего раздела и ознакомиться с одним важным, хотя и вполне доступным, примером абсолютного доказательства непротиворечивости. Усвоив это доказательство, читатель сможет лучше оценить значение работы Гёделя.

Мы покажем здесь коротко, как можно формализовать элементарную логику высказываний, являющуюся некоторым фрагментом системы, описанной в Principia Mathematica. В результате формализации упомянутый фрагмент Principia станет исчислением, состоящим из неинтепретированных символов. После этого мы уже сможем провести нужнее нам доказательство.

Формализация проходит в четыре этапа. Прежде всего нам понадобится полный перечень символов, которые используются в нашем исчислении, они составят так называемый алфавит системы. Далее нам надо будет сформулировать «правила образования», согласно которым из «букв» алфавита составляются «формулы» (причем только такие, «правильно составленные», сочетания символов мы будем считать предложениями нашей системы). Можно было бы считать совокупность правил «грамматикой» исчисления. Затем мы отбираем некоторые формулы нашей системы в качестве ее аксиом (или «исходных формул»), аксиомы служат «базисом» системы. И, наконец, мы сформулируем «правила преобразования», точно описывающие, каким образом из одних формул некоторого вида «выводятся» другие формулы определенного вида; иначе говоря, правила эти — не что иное, как правила вывода. Теоремой нашей системы мы будем называть теперь любую формулу, получаемую посредством последовательного применения правил преобразования к аксиомам. Формальным «доказательством» мы будем называть любую конечную последовательность формул рассматриваемого исчисления, каждая из которых либо является аксиомой, либо выводима из предшествующих формул данной последовательности с помощью правил преобразования[1].

Алфавит логики высказываний (называемой часто «пропозициональным исчислением») очень несложен. Он состоит из переменных и констант. Переменные, поскольку вместо них можно подставлять предложения (sentences) системы, называют сентенциональными (чаще — пропозициональными) переменными. В качестве переменных мы будем использовать буквы «p», «q», «r», …, «p₁», «p₂» …, «q₁», «q₂» ….

Постоянные символы (константы) — это «пропозициональные» связки и знаки препинания. Мы будем употреблять следующие пропозициональные связки: «~» читается как «не»; ˅ — «или»; «ﬤ» — «если…, то…»; «·» — «и»; знаки препинания: «(» — «левая скобка», «)» — «правая скобка».