Теорема Гёделя

Подобно мольеровскому господину Журдену, всю жизнь говорившему прозой, но не подозревавшему об этом обстоятельстве, математики в течение по крайней мере двух тысячелетий обходились без точной формулировки принципов, лежащих в основе всех их рассуждений. Понимание подлинной природы таких принципов — достижение самого недавнего времени.

Почти две тысячи лет аристотелевская теория правильных форм логического вывода безоговорочно считалась исчерпывающей и не нуждающейся в дальнейшей разработке. Еще в 1787 г. Иммануил Кант говорил, что формальную логику Аристотеля «не продвинешь дальше ни на один шаг — это наиболее завершенная и полная из всех наук». На самом же деле традиционная логика существеннейшим образом не полна, и средств ее недостаточно для обоснования многих принципов вывода, используемых даже во вполне элементарных математических рассуждениях.

Простым примером могут служить принципы, используемые при следующем выводе: 5 > 3, следовательно, 5² > 3².

Возрождение логических исследований в новое время началось с опубликования «Математического анализа логики» Джорджа Буля (1847). Буль и его последователи занимались прежде всего разработкой так называемой алгебры логики, посвященной выяснению и уточнению более общих и более разнообразных типов логической дедукции, нежели подпадающие под традиционные логические принципы. С помощью булевой техники легко выражаются, конечно, и традиционные умозаключения.

Другое направление исследований, тесно связанное с разработкой математиками XIX столетия проблематики оснований анализа, также оказалось близким программе Буля. Целью нового направления было представить всю чистую математику как часть формальной логики. Классическое выражение эта линия развития логики и математики получила в Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела (1910–1913). Математикам XIX-го столетия удалось «арифметизировать» алгебру и так называемое «исчисление бесконечно малых», показав, что различные понятия, используемые в математическом анализе, определимы исключительно в арифметических терминах (т. е. в терминах целых чисел и арифметических операций над ними). Например, вместо того чтобы допускать мнимое число √-1 в качестве некоей мистической «сущности», его стали определять как упорядоченную пару целых чисел (0,1), причем над такими парами разрешено было производить определенного рода операции «сложения» и «умножения». Аналогично, иррациональное число √2 теперь стали определять как некоторый класс рациональных чисел, а именно, как класс рациональных чисел, квадраты которых меньше 2. Рассел же (а еще ранее немецкий математик Готтлоб Фреге) поставил своей целью показать, что все арифметические понятия можно определить в чисто логических терминах, а все аксиомы арифметики вывести из небольшого числа предложений, которые можно было бы квалифицировать как чисто логические истины.

Приведем пример. В логике имеется понятие класса. Два класса, по определению, «подобны», если между их членами можно установить взаимно-однозначное соответствие (причем понятие взаимно-однозначного соответствия само может быть определено в терминах других логических понятий). Класс, имеющий единственный член, называется «единичным классом» (таков, например, класс естественных спутников Земли); кардинальное (количественное) число 1 определяется как класс всех классов, подобных какому-либо единичному классу. Аналогично можно определить и другие кардинальные числа; различные арифметические операции (сложение, умножение и т. д.) также можно определить через понятия формальной логики. Произвольное арифметическое утверждение (скажем, «1 + 1 = 2») можно теперь представить как сокращенную запись некоторого утверждения, составленного исключительно из выражений, принадлежащих обычной логике, и все такие чисто логические утверждения, как можно показать, выводимы из некоторой системы логических аксиом.

Таким образом, Principia Mathematica явилась существенным продвижением в решении проблемы непротиворечивости математических систем, в частности арифметики, в том смысле, что посредством этой системы P. M. было достигнуто некоторое сведение упомянутой проблемы к проблеме непротиворечивости самой формальной логики. В самом деле, если аксиомы арифметики суть просто-напросто сокращенные записи некоторых теорем логики, то вопрос о том, совместимы ли арифметические аксиомы, эквивалентен вопросу о совместимости основных логических аксиом.