Теорема Гёделя

Теперь уже полная «арифметизация» нашего формального исчисления не представит никакого труда. Такая «арифметизация» попросту сводится к устанорлению некоторого взаимно-однозначного соответствия между выражениями, входящими в исчисление, и некоторым подмножеством натурального ряда.

^{Не всякое натуральное число есть гёделевский номер константы, переменной или формулы; предоставляем читателю придумать и разобрать примеры на различные возможные случаи.}

Если нам дано какое-нибудь выражение, мы без труда напишем его гёделевский номер. Это, однако, лишь полдела. Важно то, что когда нам дано какое-либо натуральное число, то мы можем установить, является ли это число гёделевским номером, а если да — то можем точно «восстановить» обозначаемое этим номером выражение. Если данное число не превосходит 10, то это, как мы знаем, просто номер некоторой константы. Если же данное число больше 10, то его можно разложить, причем единственным образом (в этом состоит так называемая основная теорема арифметики), на простые сомножители. Если оно оказалось простым, квадратом простого или кубом простого числа, то это — гёделевский номер переменной.

Если данное число оказалось произведением степеней первых последовательных простых чисел, то оно может (хотя, конечно, и не обязано) быть гёделевским номером формулы или последовательности формулы.

И в таком случае выражение, которому соответствует данный номер, может быть точно определено.

Следуя намеченной программе, мы можем для любого данного числа совершенно единообразным методом («как машина») проверить, является ли оно гёделевским номером, а если да — то какого выражения[14]. Пусть, например, нам дано число 243 000 000. Разложим его (оно, очевидно, составное) на простые сомножители: 243 000 000 = 64 × 243 × 15 625 = 2⁶ × 3⁵ × 5⁶. Вспомнив, что 6 есть гёделевский номер константы «0», а 5 — гёделевский номер знака «=», рисуем схему:

6 5 6

↓ ↓ ↓

0 = 0

Теперь видно, что число «243 миллиона» действительно есть гёделевский номер некоторой формулы, а именно, формулы «0 = 0» (т. е. «нуль равен нулю»).

7.2. Арифметизация метаматематики

Следующим шагом, который проделал Гёдель, было чрезвычайно остроумное применение описанного выше «кодирования» («гёделевской нумерации»). Он показал, что все метаматематические высказывания о структурных свойствах выражений, входящих в рассматриваемое исчисление, можно изобразить (причем взаимно-однозначным образом) в самом этом исчислении. В основе этой процедуры лежит следующая идея. Поскольку каждому выражению нашего исчисления приписан некоторый (гёделевский) номер, то каждое метаматематическое высказывание о выражениях исчисления и отношениях, имеющих место между ними, можно рассматривать и как высказывание о соответствующих (гёделевских) номерах и отношениях между ними. Таким путем метаматематика оказывается полностью «арифметизированной».

Рассмотрим такой популярный пример. При входе в большие универсальные магазины покупателям иногда выдают билетики с номерами, определяющими порядок дальнейшего обслуживания покупателей. Достаточно бывает посмотреть на эти номера, чтобы ответить на вопросы, сколько покупателей уже обслужено, сколько ожидает своей очереди, кто за кем стоит, сколько всего покупателей было с утра в магазине и т. п. Если, скажем, миссис Смит имеет номер 37, а миссис Браун — номер 53, то вместо того чтобы объяснить миссис Браун, что она должна пропустить вперед миссис Смит, достаточно обратить ее внимание на то, что 37 меньше, чем 53.

В метаматематике дело обстоит в точности, как в этом магазине. Каждое метаматематическое высказывание кодируется теперь вполне однозначным образом посредством некоторой арифметической формулы; отношения же, имеющие место между метаматематическими высказываниями, и логические зависимости между ними также однозначно переводятся в некоторые числовые соотношения и зависимости между соответствующими арифметическими формулами. И здесь, как и раньше, числовое кодирование облегчает рассмотрение всех достаточно сложных соотношений. Изучение метаматематических вопросов сводится к исследованию арифметических соотношений и свойств некоторых чисел.