Теорема Гёделя

Проиллюстрируем все эти общие замечания одним элементарным примером. Возьмем первую аксиому исчисления высказываний, являющуюся, кстати, аксиомой и рассматриваемого сейчас логико-арифметического исчисления: «(p ˅ p) ﬤ p». Ее гёделевский номер, равный, как легко убедиться, числу 2⁸ × 3¹¹ × 5² × 7^{11^2} × 11⁹ × 13⁸ × 17¹¹ мы обозначим буквой а. Рассмотрим теперь формулу «(p ˅ p)», гёделевский номер которой, равный числу 2⁸ × 3^{11^2} × 5² × 7^{11^2} × 11⁹, обозначим через b. Сформулируем теперь метаматематическое утверждение, гласящее, что формула «(p ˅ p)» есть начальная «подформула» (т. е. часть формулы, сама также являющаяся формулой) выбранной аксиомы. Какой арифметической формуле рассматриваемой формальной системы соответствует это утверждение? Очевидно, что более короткая формула «(p ˅ p)» является начальной подформулой более длинной формулы «(p ˅ p) ﬤ p» в том и только в том случае, если (гёделевский) номер b, соответствующий первой из этих формул, есть делитель (гёделевского) номера a, соответствующего второй формуле. В предположении, что термин «делитель» определен некоторым подходящим образом в формализованной арифметической системе арифметической формулой, однозначным образом соответствующей упомянутому выше метаматематическому утверждению о том, что первая аксиома начинается с подформулы «(p ˅ p)», является формула «b есть делитель a». Более того, если эта последняя формула истинна, т. е. если b действительно является делителем a, то верно и то, что «(p ˅ p)» есть начальная подформула формулы «(p ˅ p) ﬤ p».

Рассмотрим теперь повнимательнее следующее метаматематическое высказывание: «Последовательность формул, имеющая гёделевский номер x, является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер z». Высказывание кодируется (изображается) посредством некоторой вполне определенной формулы арифметического исчисления, выражающей некоторое чисто арифметическое отношение между числами x и z. (Некоторое представление о том, насколько сложным является такое отношение, читатель получит, вспомнив приводившийся выше пример, в котором конец доказательства (а не все доказательство!) некоторой формулы, имеющей гёделевский номер, n, получал гёделевский номер k = 2^m × 3ⁿ. Самый беглый анализ приводит нас к выводу, что здесь вводится вполне определенное, хотя и далеко не простое, арифметическое отношение между k (будем для простоты считать его номером всего доказательства) и n — гёделевским номером заключения этого доказательства.) Мы будем записывать отношение между числами x и z посредством формулы «Dem(x, z)»[15] напоминающей нам самим своим обликом о том метаматематическом утверждении, которому она соответствует (а именно, об утверждении «Последовательность формул, имеющая гёделевский номер x, является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер z»).

^{Читатель должен твердо уяснить себе, что хотя «Dem(x, z)» кодирует некоторое метаматематическое утверждение, сама эта запись является формулой арифметического исчисления. Формула эта в более привычных обозначениях может быть записана в виде f(x, z) = 0, где буква f обозначает некоторый довольно-таки сложный комплекс арифметических операций над числами. Однако эта более привычная запись не «подсказывает» сразу своей метаматематической интерпретации, почему мы и предпочли запись, приведенную в тексте.}