Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни

В играх с нулевой суммой равновесие возможно и при отсутствии смешанных стратегий. Вот простой пример: предположим, у игрока, выполняющего пенальти, очень низкий процент успешных ударов слева от вратаря (это не его естественная сторона), даже когда вратарь неправильно угадывает его действия. Это может быть связано с высокой вероятностью того, что бьющий игрок в любом случае промахнется, если будет бить внешней стороной ступни. Предположим, таблица выигрышей в этом случае выглядит так:

В данном случае стратегия «справа» доминирующая для бьющего игрока и у него нет причин смешивать стратегии. В более общем случае равновесие возможно даже при наличии чистых стратегий, среди которых нет доминирующих. Но и здесь нет причин для беспокойства: методы поиска равновесия в смешанной стратегии также позволяют обнаружить равновесие в случае чистой стратегии как частный случай смешивания стратегий, в котором доля одной из них составляет 100 процентов.

Детская забава

23 октября 2005 года Эндрю Бергель из Торонто получил титул чемпиона мира в игре «камень, ножницы, бумага» (КНБ), а также золотую медаль Всемирной ассоциации игроков в КНБ. Стэн Лонг из Ньюарка выиграл серебряную медаль, а Стюарт Уолдман из Нью-Йорка – бронзовую.

Всемирная ассоциация игроков в КНБ поддерживает сайт www.worldrps.com, на котором публикуются правила игры и различные рекомендации по поводу стратегии. Кроме того, ассоциация проводит ежегодный чемпионат мира по игре КНБ. Знали ли вы о том, что игра, в которую вы играли в детстве, вышла на такой серьезный уровень?

Правила игры в КНБ сейчас те же, что были в вашем детстве; они описаны в главе 1. Два игрока одновременно выбирают (на жаргоне этой игры «выбрасывают») один из знаков рукой: кулак символизирует камень, расположенная горизонтально ладонь – бумагу, а указательный и средний пальцы, расставленные под углом и указывающие на соперника, – ножницы. Если оба игрока показали один знак, засчитывается ничья. Если игроки выбирают разные знаки, камень побеждает (ломает) ножницы, ножницы побеждают (режут) бумагу, а бумага побеждает (обертывает) камень. Каждая пара игроков проводит несколько раундов игры подряд, а участник соревнований, победивший в максимальном числе раундов, становится победителем матча.

Тщательно продуманные правила, опубликованные на сайте Всемирной ассоциации игроков в КНБ, регламентируют два важных момента соревнований по этой игре. Во-первых, точно описаны жесты, которые символизируют камень, ножницы и бумагу в момент выброса. Это предотвращает любые попытки мошенничества, когда один игрок делает жест, допускающий двоякое толкование, а затем заявляет, что его знак побеждает знак соперника. Во-вторых, в этих правилах описана последовательность действий, которые обозначаются как «исходная позиция, готовность, выброс», для того чтобы обеспечить одновременность ходов двух игроков. При таком подходе один игрок не может заранее увидеть, что сделал другой, и выбрать в ответ тот знак, который обеспечил бы ему победу.

Таким образом, мы имеем игру с параллельными ходами с участием двух игроков, у каждого из которых есть три чистые стратегии. Предположим, за победу засчитывается 1 очко, за поражение – 1, за ничью – 0; игроков назовем Эндрю и Стэн в честь победителей на чемпионате мира в 2005 году. Таблица этой игры выглядит так:

Что порекомендовала бы в этом случае теория игр? Это игра с нулевой суммой, поэтому раскрывать свой ход заранее невыгодно. Если Эндрю делает только один чистый ход, Стэн сможет ответить выигрышным ходом и сократить выигрыш Эндрю до –1. Если Эндрю смешает три хода в равных пропорциях, по ⅓ на каждый ход, это обеспечит ему средний выигрыш ⅓ × 1 + ⅓ × 0 + ⅓ × (–1) = 0 против любой из чистых стратегий Стэна. Поскольку игра имеет симметричную структуру, очевидно, что это лучшее, на что может рассчитывать Эндрю, и расчеты подтверждают эту интуитивную оценку. Та же аргументация верна и для Стэна. Следовательно, смешивание всех трех стратегий в равной пропорции – оптимальное решение для обоих игроков, которое и представляет собой равновесие Нэша в смешанных стратегиях.

Однако далеко не все участники чемпионата мира по игре «камень, ножницы, бумага» придерживаются такого подхода. На сайте ассоциации этот подход называют хаотичной игрой и не рекомендуют применять. «Критики этой стратегии настаивают на том, что случайного выброса просто не существует. Люди неизменно подчиняются какому-либо импульсу или склонности при выборе знака, а значит, придерживаются подсознательной, хотя и предсказуемой схемы игры. “Школа хаоса” теряет свое влияние в последнее время, поскольку статистика проведения турниров свидетельствует о более высокой эффективности таких стратегий».

Формирование «подсознательной, хотя и предсказуемой схемы игры» – это действительно серьезная, заслуживающая дальнейшего обсуждения проблема, и мы вернемся к ней немного позже. Но сначала посмотрим, каким стратегиям отдают предпочтение участники чемпионата мира по игре «камень, ножницы, бумага».