Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни

Разумеется, все эти показатели относятся к конкретному игроку, выполняющему штрафной удар, и конкретному вратарю. Подробную информацию о показателях игроков можно получить в профессиональных футбольных лигах разных стран. Для общего сведения ознакомьтесь со средними показателями ряда разных вратарей и игроков, выполнявших штрафной удар, которые рассчитал Игнасио Паласиос Уэрта на основании данных футбольных лиг Италии, Испании и Англии за период с 1995-го по 2000 год. Не забывайте, что в левом нижнем углу каждой ячейки показан выигрыш бьющего игрока, которому соответствуют строки, а в правом верхнем углу – выигрыш вратаря, которому соответствуют столбцы таблицы. Выигрыш бьющего игрока выше, если оба выбирают противоположные стороны; процент забитых мячей у такого игрока почти одинаковый независимо от того, выбирает он естественную сторону или нет: единственная причина неудачи – когда удар направлен выше ворот или мимо ворот. В случае, если оба выбирают одну и ту же сторону, выигрыш бьющего игрока выше, когда он предпочитает свою естественную сторону. Все эти действия носят в какой-то мере интуитивный характер.

Попробуем найти равновесие Нэша для этой игры. Если оба игрока выбирают позицию «слева», это не будет равновесием, поскольку, когда вратарь выбирает левую сторону, бьющий игрок может повысить свой выигрыш с 58 до 93, переключившись на позицию «справа». Это тоже не может быть равновесием, поскольку в таком случае вратарь может повысить свой выигрыш с 7 до 30, тоже переключившись на позицию «справа». Однако в таком случае игрок, выполняющий пенальти, получит более высокий выигрыш, переключившись на позицию «слева»; тогда и вратарю будет лучше переключиться на позицию «слева». Иными словами, в этой игре в таком виде, в каком она отображена на таблице, равновесия Нэша не существует.

Циклы переключения с одной позиции на другую полностью соответствуют круговой логике рассуждений Виццини о том, в каком кубке находится яд. Тот факт, что в данной игре с указанными парами стратегий нет равновесия Нэша, подтверждает правильность одного из постулатов теории игр, касающегося важности смешивания ходов. В данном примере необходимо ввести смешивание ходов как еще одну, принципиально новую, стратегию и попытаться найти равновесие Нэша в расширенном множестве стратегий. Исходные стратегии каждого игрока («слева» и «справа») будем называть чистыми стратегиями.

Прежде чем продолжить анализ, упростим таблицу игры. У этой игры есть одна особенность: интересы двух игроков полностью противоположны. В каждой ячейке выигрыш вратаря равен 100 минус выигрыш бьющего игрока. Следовательно, если сравнить данные в ячейках, становится очевидным, что, когда выигрыш больше у бьющего игрока, он меньше у вратаря, и наоборот.

Многие люди, опираясь на свой опыт игр подобного рода, интуитивно считают, что в любой игре должен быть победитель и проигравший. Однако в огромном мире стратегических игр сравнительно редко встречаются игры, в которых наблюдается чистый конфликт. В мире экономики, где игроки сознательно идут на компромисс ради взаимной выгоды, возможен такой исход игры, когда выигрывают все. Пример ситуации, в которой все могут проиграть, – дилемма заключенных. А в игре с торгом и игре в труса возможен односторонний исход, когда одна сторона выигрывает за счет другой. Таким образом, большинству игр свойственно сочетание конфликта и общих интересов. Тем не менее данный пример игры с абсолютным конфликтом первым был изучен теоретически, поэтому представляет особый интерес. Как мы уже говорили, такие игры называются играми с нулевой суммой (выигрыш одного игрока означает проигрыш другого) или, в более общем случае, играми с постоянной суммой, как в нашем текущем примере, где сумма выигрышей двух игроков всегда равна 100.

Таблицы выигрышей для таких игр можно упростить, указывая в них выигрыш одного игрока, поскольку выигрыш другого можно рассматривать как величину, равную разнице между постоянной суммой (в нашем примере 100) и выигрышем первого игрока. Как правило, в явной форме указывается выигрыш игрока, которому соответствуют строки таблицы. В данном примере для такого игрока предпочтителен результат с более высокими показателями, а для игрока, которому соответствуют столбцы таблицы, оптимален результат с более высокими показателями. С учетом этих правил таблица выигрышей для штрафного броска выглядит так:

Если вы игрок, выполняющий штрафной удар, какой из двух стратегий отдали бы предпочтение? Если вы выберете стратегию «справа», вратарь может удержать ваш процент забитых мячей на уровне не выше 58, выбрав стратегию «слева»; если же вы выберете стратегию «справа», вратарь может удержать ваш процент забитых мячей на уровне не выше 70, тоже выбрав стратегию «справа»{78}. Из этих двух вариантов вам лучше выбрать сочетание «справа», «справа».