Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни

Дилемма, с которой столкнулся Виццини, возникает во многих играх. Представьте себе, что вам предстоит сделать штрафной удар во время футбольного матча. Вы направите удар по левую или по правую сторону от вратаря? Предположим, руководствуясь определенными соображениями (что вы делаете удар с левой, а не с правой ноги; что вратарь левша, а не правша или что вы выбрали ту или иную сторону, когда в прошлый раз били пенальти), вы приходите к выводу, что следует направить удар по левую сторону от вратаря. Если вратарь способен выстроить такую же цепочку рассуждений, он мысленно и даже физически подготовится к тому, чтобы прикрыть именно эту сторону, так что вам лучше направить удар по правую сторону. Но что если вратарь пойдет в своих рассуждениях дальше? Тогда вам лучше придерживаться первоначального плана и быть по левую сторону от него. И так далее. Где заканчивается этот круг рассуждений?

В подобных ситуациях единственный логически обоснованный вывод состоит в том, что, если вы будете выбирать свои ходы, придерживаясь той или иной системы или закономерности, другой игрок непременно воспользуется этим на пользу себе и в ущерб вам. Следовательно, вы не должны придерживаться никакой системы или закономерности. Если всем известно, что вы бьете по мячу левой ногой, вратари будут более тщательно прикрывать эту сторону и чаще отражать ваши удары. Вы должны заставить их строить догадки, совершая бессистемные или случайные действия в каждом отдельном случае. Осознанный выбор случайных действий может показаться иррациональным решением в ситуации, которая подразумевает необходимость рационального стратегического мышления, однако в этой кажущейся непоследовательности есть своя логика. Ценность рандомизации можно не только осознавать в абстрактном, общем смысле, но и выразить в количественной форме. Мы подробно объясним этот метод в данной главе.

Смешивание стратегий на футбольном поле

Штрафной удар в футболе – самый простой и самый известный пример ситуации, требующей случайных ходов, или, если говорить в терминах теории игр, смешанных стратегий. Этот удар был тщательно изучен в ходе теоретических и эмпирических исследований игр и широко обсуждался в средствах массовой информации[63].

Пенальти назначается, если игроки защиты совершают любое запрещенное действие или нарушение в штрафной площадке своих ворот. Кроме того, серия штрафных ударов выполняется после окончания футбольного матча для определения победителя в случае ничьей. Ширина футбольных ворот 7,32 метра, высота – 2,44 метра. Мяч устанавливается на линии, расположенной в 11 метрах от линии ворот, напротив центра ворот. Игрок, выполняющий удар, должен послать мяч в ворота непосредственно с этого места. Вратарь должен стоять на линии ворот до момента нанесения удара по мячу.

Мяч, по которому сделан сильный удар, долетает с 11-метровой отметки до ворот за две десятые секунды. У вратаря, который ждет момента удара, чтобы увидеть, куда направляется мяч, нет никаких шансов остановить его, если только мяч не был нацелен на самого вратаря. Футбольные ворота достаточно широкие; следовательно, вратарь должен заранее решить, следует ли ему делать прыжок, чтобы прикрыть одну из сторон, и если да, то в какую сторону необходимо двигаться – налево или направо. Игрок, выполняющий пенальти, тоже должен выбрать направление удара еще до того, как увидит, куда наклоняется вратарь. Разумеется, каждый из них сделает все возможное, чтобы скрыть свой выбор от другого. Следовательно, эту ситуацию лучше всего рассматривать как игру с параллельными ходами. В действительности крайне редко бывает так, что вратарь стоит в центре ворот, не прыгая налево или направо; игроки, выполняющие пенальти, тоже сравнительно редко бьют в центр ворот, и такое поведение можно объяснить теоретически. Поэтому мы упростим свои выкладки, ограничив выбор каждого игрока двумя вариантами. Поскольку игроки, выполняющие пенальти, бьют по мячу внутренней стороной ступни, естественное направление удара для игрока, бьющего правой ногой, – в правую сторону от вратаря, а для игрока, бьющего левой, – в левую сторону. Для простоты будем называть естественную сторону «справа». Следовательно, у каждого игрока есть два варианта выбора: «справа» и «слева». Когда вратарь выбирает вариант «справа», это означает естественную сторону выполнения удара игроком, бьющим пенальти.

Учитывая, что у каждого игрока есть два варианта выбора и что оба делают свои ходы одновременно, мы можем отобразить результаты в обычной таблице выигрышей 2 × 2. В каждом сочетании вариантов выбора «слева» и «справа», сделанного каждым из игроков, есть элемент случайности. Например, мяч может пролететь над перекладиной ворот или вратарь может направить мяч в сетку ворот, слегка коснувшись его. В представленной таблице выигрыш игрока, выполняющего пенальти, – это выраженное в процентах число раз, когда мяч забит, а выигрыш вратаря – выраженное в процентах число раз, когда мяч не забит.