Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни

Разъяснять стратегию тренера необходимо еще до ее применения в том или ином матче. Тренер должен донести до всеобщего сведения тот факт, что прорыв с мячом посередине поля остается элементом осторожной и методичной схемы игры именно благодаря отвлечению части игроков защищающейся команды на оборону от случайного длинного паса, который может обойтись команде слишком дорого. Однако мы допускаем, что даже если накануне игры тренер во всеуслышание заявит об этом во всех газетах и на всех телеканалах, а затем использует длинный пас, который окажется неудачным, на него все равно обрушится лавина критики, как если бы он и не пытался объяснить широкой публике элементы теории игр.

Смешивание стратегий в неантагонистических играх

До сих пор мы рассматривали в этой главе только антагонистические игры, в которых интересы игроков полностью противоположны: игры с нулевой суммой или игры с постоянной суммой. Однако мы неизменно подчеркиваем, что в реальной жизни интересы людей могут совпадать, а могут и противоречить друг другу. Играет ли смешивание стратегий значимую роль в играх с ненулевой суммой? Да, но с некоторыми условиями.

В качестве иллюстрации еще раз рассмотрим охотничью версию игры «семейный спор», о которой шла речь в главе 4. Вспомните наших отважных охотников Фреда и Барни, которые решают (каждый в своей пещере), на какого зверя им охотиться – на оленя или на бизона. Удачная охота требует совместных усилий обоих охотников, поэтому, если они выберут противоположные варианты, никто из них не добудет мяса. И Фред, и Барни заинтересованы в том, чтобы предотвратить такой итог. Однако помимо двух вариантов благополучного исхода (при условии, что они охотятся на одном участке) нужно учесть, что Фред отдает предпочтение мясу оленя и оценивает результат совместной охоты на этого зверя как четыре вместо трех единиц мяса, тогда как у Барни противоположные предпочтения. Следовательно, таблица их выигрышей выглядит так:

Как мы уже убедились, в этой игре есть два равновесия Нэша; в таблице они выделены серым цветом. Теперь мы назвали бы их равновесиями в чистых стратегиях. Но возможно ли такое равновесие в игре со смешанной стратегией?

По каким причинам Фред выбрал бы смешанную стратегию? Возможно, он не уверен в том, что именно выберет Барни. Если под влиянием этих субъективных сомнений Фред оценивает число случаев, когда Барни выберет охоту на оленя и на бизона, как y и (1 – у) соответственно, тогда он рассчитывает на выигрыш в размере 4y + 0(1 – y) = 4y, если он сам выберет охоту на оленя, и 0y + 3(1 – y), если он сам выберет охоту на бизона. Если y имеет значение, при котором 4y = 3(1 – y), или 3 = 7y, или y = 3∕7, тогда Фред получит один и тот же выигрыш, выбрав стратегию охоты на оленя или на бизона, а также если он решит использовать обе стратегии в любой пропорции. Предположим, что Фред смешивает стратегию охоты на оленя и на бизона в таких пропорциях, что для Барни не имеет значения, какую из чистых стратегий выбрать. (Эта игра симметрична, поэтому вы можете предположить – и подтвердить это предположение расчетами, – что Фред должен смешивать свои стратегии, выбирая охоту на оленя в x = 4∕7 случая.) При этом Барни тоже мог бы смешивать свои стратегии по такому принципу, чтобы Фреду было все равно, какую стратегию выбрать, а значит, Барни сам мог бы выбрать оптимальную стратегию. Эти два варианта смешивания стратегий – x = 4∕7 и y = 3∕7 – образуют равновесие Нэша в смешанных стратегиях.

Всегда ли такое равновесие обеспечивает удовлетворительный результат? Нет. Проблема в том, что два охотника делают свой выбор независимо друг от друга. Следовательно, Фред выберет охоту на оленя, тогда как Барни выберет охоту на бизона, в 4∕7 × 4∕7 = 16∕49 случаях, и наоборот – в 3∕7 × 3∕7 = 9∕49 случаях. Таким образом, в 25∕49 или немногим более половины случаев два охотника окажутся на разных участках и получат нулевой выигрыш. Воспользовавшись приведенными формулами, мы увидим, что каждый из них получит выигрыш в размере 4 × 3∕7 + 0 × 4∕7 = 12∕7 ≈ 1,71, что меньше выигрыша 3 в случае неблагоприятного равновесия в чистых стратегиях.