Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Последнее утверждение многим может показаться спорным — и, возможно, даже преувеличенным. Но гипотеза SYZ уже использовалась, в частности, Концевичем и Яковом Сойбельманом из Университета штата Канзас для доказательства частного случая гомологической зеркальной симметрии, являющейся еще одной попыткой дать фундаментальное математическое описание зеркальной симметрии.

Теория гомологической зеркальной симметрии была впервые предложена Концевичем в 1993 году и на сегодняшний день находится на стадии разработки, привлекая к себе интерес как физиков, так и математиков. Изначальная формулировка зеркальной симметрии была по большому счету бессмысленной с точки зрения математиков, поскольку предполагала наличие двух различных многообразий, порождающих одинаковую физику. Но как объясняет Сойбельман, «в математике действительно нет понятия физической теории, связанной с многообразиями X и X'. Концевич же попытался придать этому утверждению математическую строгость», представив ее в виде, не привязанном к физическим понятиям.[120]

Пожалуй, наиболее простым способом описания гомологической зеркальной симметрии является описание в терминах D-бран, хотя идея Концевича опередила их открытие на год или два. Физики представляют себе D-браны как подповерхности, к которым должны крепиться концы открытых струн. Теория гомологической зеркальной симметрии предсказывала существование D-бран, давая весьма детальное описание этих объектов, ставших одними из важнейших составляющих теории струн, точнее, М-теории, после второй струнной революции. В общем, это знакомая история, когда физическое открытие, в данном случае — зеркальная симметрия, дает толчок развитию математики, а математика, в свою очередь, сполна рассчитывается перед физикой.

Одной из главных идей, лежащих в основе гомологической зеркальной симметрии, является идея существовании двух различных типов D-бран — А-бран и В-бран. Эти термины введены Виттеном. Для зеркальной пары многообразий Калаби-Яу X и X' А-брана на многообразии X будет совпадать с В-браной на многообразии X'. Это краткое определение, по словам Эспинволла, «дало возможность математикам строго сформулировать понятие зеркальной симметрии. Из этой формулировки уже можно было получить все остальное»[121].

Как говорит Майкл Дуглас, физик из Университета Стоуни-Брук, «представьте, что у вас есть два конструктора, детали которых имеют различную форму. Однако набор моделей, которые вы можете из них собрать, один и тот же»[122]. Это полностью аналогично соответствию между А-бранами и В-бранами, заявленному в теории гомологической зеркальной симметрии.

А-браны представляют собой объекты, описываемые в рамках так называемой симплектической геометрии, тогда как В-браны являются предметом исследования алгебраической геометрии. Мы уже слегка касались алгебраической геометрии, говоря о том, что она позволяет описывать геометрические кривые в алгебраических терминах и решать геометрические задачи при помощи алгебраических уравнений. Симплектическая геометрия содержит ключевое для многообразий Калаби-Яу (и не только для них) понятие кэлеровой геометрии. В то время как пространства в дифференциальной геометрии обычно описываются симметричным относительно диагонали метрическим тензором, в симплектической геометрии метрика симметричной не является — при переходе через диагональ знаки изменяются.

«Эти две области геометрии рассматривались как совершенно отдельные, поэтому стало большой неожиданностью, когда обнаружилось, что алгебраическая геометрия одного пространства эквивалентна симплектической геометрии другого, — говорит Эспинволл. — Соединение двух различных областей, установление того, что они в определенном смысле связаны через понятие зеркальной симметрии, можно считать одним из крупнейших событий в математике, потому что теперь методы, разработанные для одной области, можно применять и в другой. Обычно это в буквальном смысле устраняет все препятствия на пути, в конце которого вас ждет медаль Филдса».[123]

В настоящее время теория гомологической зеркальной симметрии установила тесную связь с другими областями математики, в том числе и с гипотезой SYZ. На сегодняшний день, однако, не существует «строгой математической эквивалентности между двумя теориями, [но] они поддерживают друг друга, — утверждает Гросс. — И, если они обе верны, мы рано или поздно обнаружим их эквивалентность на определенном уровне»[124].