Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Рис. 7.9. Гипотеза SYZ, названная в честь ее авторов, Эндрю Строминджера, автора данной книги (Шинтана Яу) и Эрика Заслоу, предлагает способ разложения сложного пространства, такого как многообразие Калаби-Яу, на составные части, или подмногообразия. Хотя мы не в силах изобразить шестимерное многообразие Калаби-Яу, вместо этого мы можем нарисовать двухмерное (имеющее два вещественных измерения) пространство Калаби-Яу, представляющее собой бублик с плоской метрикой. Подмногообразия, образующие бублик, являются окружностями, и их порядок определяется вспомогательным пространством В, также представляющим собой окружность. Каждая точка на В соответствует определенной окружности; и все многообразие — или бублик — состоит из набора подобных окружностей

Рис. 7.10. Гипотеза SYZ предоставляет новый взгляд на K3-поверхности, являющиеся классом четырехмерных многообразий Калаби-Яу. Согласно гипотезе SYZ, мы можем создать K3-поверхность, взяв двухмерную сферу, являющуюся вспомогательным пространством в данном примере, и прикрепив к каждой ее точке двухмерный бублик

Именно здесь и проявляется зеркальная симметрия. Работая над первоначальной идеей SYZ, оксфордский геометр Найджел Хитчин, Марк Гросс и некоторые из моих бывших студентов (Найчанг Линг, Вейдонг Руан и другие) построили следующую картину. Рассмотрим многообразие X, состоящее из набора подмногообразий, перечисленных в пространстве модулей В. Теперь возьмем подмногообразия, имеющие радиус r, и заменим его на обратную величину 1/r. Одной из неожиданных, хотя и прекрасных особенностей теории струн, не присущей классической механике, является возможность провести подобную замену, а именно перевернуть радиус цилиндра, сферы или пространства, не изменив при этом их физические характеристики. Движение точечной частицы по окружности радиуса r можно описать при помощи ее момента импульса, который при этом квантуется — принимает строго определенные значения, кратные постоянной Планка — ℏ. Струна, движущаяся по окружности, также обладает моментом импульса, но, в отличие от точечной частицы, она может наматываться на окружность один или более раз. Число оборотов струны вокруг окружности называется ее топологическим числом. Итак, движение струны, в отличие от движения частицы, характеризуется двумя квантующимися величинами: ее моментом импульса и ее топологическим числом. Рассмотрим струну с топологическим числом, равным двум, и моментом импульса, равным нулю, движущуюся по окружности радиуса r, и струну с топологическим числом, равным нулю, и моментом импульса, равным двум (то есть 2ℏ), движущуюся по окружности радиуса 1/r. Хотя описания этих двух случаев звучат по-разному и вызывают в воображении разные картины, с математической точки зрения оба случая идентичны и приводят к одним и тем же физическим характеристикам. Это свойство известно как T-дуальность. «Эта эквивалентность переходит с окружностей на их [декартовы] произведения — торы», — говорит Заслоу.[114] Буква T в названии «T-дуальность» и означает «торы». Строминджер, Заслоу и я сочли эту дуальность столь важной для зеркальной симметрии, что назвали нашу первую статью, посвященную гипотезе SYZ, «T-дуальность — это зеркальная симметрия».

Приведу простой пример, показывающий тесную взаимосвязь T-дуальности и зеркальной симметрии. Пусть многообразие М представляет собой тор — прямое произведение двух окружностей радиуса r. Многообразие, зеркальное к нему, М', также является тором — произведением двух окружностей радиуса 1/r. Представим себе теперь, что r чрезвычайно мало. Столь крошечный размер многообразия М приводит к тому, что для понимания связанной с ним физики нужно принимать во внимание квантовые эффекты. Таким образом, сложность расчетов многократно возрастает. Извлечь же физические характеристики из зеркального многообразия М', намного легче, поскольку для очень малого r величина 1/r будет очень велика, и квантовые эффекты можно свободно проигнорировать. Итак, зеркальная симметрия под личиной T-дуальности может существенно упростить ваши расчеты и жизнь в целом.