Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Как мне кажется, доказательство этой гипотезы позволило провести последовательную проверку некоторых идей из области теории струн с точки зрения строгой математики, что обеспечило данной теории крепкую математическую основу. Впрочем, теория струн не осталась в долгу перед математикой, поскольку зеркальная симметрия привела к созданию нового раздела алгебраической геометрии — нумеративой геометрии, — внеся существенный вклад в решение давних проблем в этой области. В самом деле, многие из моих коллег, занимающихся алгебраической геометрией, рассказывали мне, что единственной работой за последние пятнадцать лет, которая вызвала у них интерес, стала работа, вдохновленная идеями о зеркальной симметрии. Огромный вклад в математику со стороны теории струн вынудил меня признать, что физическая интуиция определенно должна чего-то стоить. Это означало, что даже если природа и не работает строго по законам теории струн, эта теория, тем не менее, должна содержать в себе немалую долю истины, поскольку ее применение открывало путь к решению многих классических проблем, которые математики были не в состоянии решить самостоятельно. Даже сейчас, много лет спустя, невозможно представить себе независимый путь вывода формулы Канделаса, в котором не использовались бы идеи теории струн.

По иронии, единственным вопросом, который доказательство гипотезы о зеркальной симметрии так и оставило открытым, стал вопрос об определении самого понятия зеркальной симметрии. Во многих отношениях это явление, открытое физиками и впоследствии нашедшее заметное применение в математике, так и осталось загадкой, хотя в настоящее время уже определены два основных подхода, которые могут привести к ответу, — один из них известен как гомологическая зеркальная симметрия, другой же носит название гипотезы SYZ. Если гипотеза SYZ представляет собой попытку интерпретации зеркальной симметрии с геометрической точки зрения, то гомологическая зеркальная симметрия основана на алгебраическом подходе.

Для начала рассмотрим тот из двух подходов, в который мне удалось внести более заметный вклад, а именно гипотезу SYZ, название которой представляет собой аббревиатуру, образованную из первых букв фамилий авторов ключевой статьи по этой теме, вышедшей в 1996 году: Эндрю Строминджер — это S, Эрик Заслоу из Северо-Западного университета — это Z, а я — это Y. Подобные взаимодействия между учеными редко имеют формальную отправную точку — это, например, началось с моих случайных разговоров со Строминджером на конференции 1995 года в Триесте. Строминджер рассказывал о статье, написанной им незадолго до этого совместно с Кэтрин и Мелани Беккер, сестрами, в настоящее время занимающимися физикой в Техасском университете А&М. Так как D-браны в то время уже произвели немало шума в теории струн, целью статьи стало исследование того, как эти браны вписываются в геометрию Калаби-Яу. Идея авторов заключалась в том, что браны могут оборачиваться вокруг подмногообразий, находящихся внутри пространств Калаби-Яу. Сестры Беккер и Строминджер исследовали класс подмногообразий, сохраняющих суперсимметрию, что привело к открытию ряда весьма интересных свойств. Меня и Строминджера заинтересовал вопрос о той роли, которую эти подмногообразия могут играть в зеркальной симметрии.

Я вернулся в Гарвард, вдохновленный открывшейся возможностью, и сразу же обсудил ее с Заслоу, физиком, перешедшим в математику, который в то время был моим постдоком. Вскоре Строминджер приехал из Санта-Барбары в Гарвардский университет, руководство которого развернуло активную кампанию по переманиванию его в свои ряды. Впрочем, для того чтобы Строминджер принял окончательное решение о переходе, понадобился еще год. Итак, мы втроем смогли встретиться, соединив тем самым буквы S, Y и Z в одном и том же месте, в одно и то же время — и, впоследствии, на одной и той же странице статьи, поданной нами в печать в июне 1996 года.

Окажись гипотеза SYZ верной, это стало бы аргументом в пользу существования подструктуры многообразий Калаби-Яу, что привело бы к более глубокому пониманию их геометрии. Согласно этой гипотезе, многообразие Калаби-Яу можно представить в виде двух трехмерных многообразий, переплетенных друг с другом. Одним из этих пространств является трехмерный тор. Отделив этот тор от другой части, «обратив» его (заменив радиус r обратной величиной 1/r) и вновь соединив части в одно целое, вы получите многообразие, являющееся зеркальным по отношению к исходному. Как утверждает Строминджер, SYZ «позволяет получить простую физическую и геометрическую картину того, чему соответствует зеркальная симметрия»[110].