Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Уравнения Строминджера, которые применяют к не-кэлеровым многообразиям, описывают более широкий класс решений, чем уравнения, приведенные в статье 1985 года, которые применимы только к многообразиям Калаби-Яу. «Чтобы понять способы реализации теории струн в природе, необходимо понять более общие решения, — говорит Строминджер. — Важно понять все решения для теории струн, а пространство Калаби-Яу не содержит их все».[200] Гарвардский физик Ли-Шенг Ценг (мой постдок) сравнивает многообразия Калаби-Яу с окружностью, «которая является самым красивым частным случаем среди всех гладких и замкнутых одномерных кривых». Уравнения Строминджера (иногда называемые системой Строминджера), по его словам, «включают смягчение условия, определяющего многообразия Калаби-Яу, подобно тому, как смягчение условий, определяющих окружность, приводит к условиям, определяющим эллипс». Если у вас есть замкнутая петля из струны фиксированной длины, то существует только одна окружность, которую можно сделать из нее, в то время как вы можете сделать бесчисленное число разных эллипсов, взяв окружность и сжимая или раздвигая ее в разной степени. Из всех кривых, которые вы можете сделать из этой петли, окружность является единственной, которая остается инвариантной к поворотам вокруг центра.

Для того чтобы убедиться, что окружность является частным случаем эллипса, нам необходимо посмотреть на уравнение, которое определяет эллипс в декартовой системе координат (x, y): x²/a²+y²/b²=1, где a и b — положительные, действительные числа.

Кривая будет являться окружностью только при условии, что a=b. Кроме того, необходимы два параметра а и b, чтобы определить эллипс, и только один параметр (так как а=b), чтобы определить окружность. Это условие делает эллипс несколько более сложной фигурой, чем окружность, как и система Строминджера (не-кэлерова) является более сложной, чем многообразия Калаби-Яу, которые можно описать меньшим числом параметров.

Хотя переход от окружности к эллипсу и от многообразия Калаби-Яу к не-кэлерову многообразию можно считать шагом назад с точки зрения симметрии и красоты, Ценг отмечает: «очевидно, что природа не всегда выбирает самую симметричную конфигурацию. Например, подумайте об эллиптических орбитах планет. Поэтому вполне возможно, что внутренняя шестимерная геометрия, описывающая нашу естественную Вселенную, может быть не полностью симметричной, как Калаби-Яу, а чуть менее симметричной, как система Строминджера».[201]

Рис. 10.8. Если у вас есть петля фиксированной длины, то вы можете сделать бесконечное число эллипсов, одни более вытянутые, другие — более округлые, но вы можете сделать только одну окружность заданной длины. Другими словами, ослабив свойства, которые определяют окружность, вы можете получить любое число эллипсов. Аналогично многообразие Калаби-Яу, которое имеет кэлерову симметрию, по определению является (как и окружность) более частным случаем, чем не-кэлерово многообразие, которое удовлетворяет менее жестким условиям и охватывает более широкий класс объектов

Система, предложенная Строминджером, отнюдь не сахар, поскольку она состоит из четырех дифференциальных уравнений, которые должны быть решены одновременно, причем каждое из них может быть кошмаром для решения. Эта система состоит из двух эрмитовых уравнений Янга-Миллса, которые предназначены для калибровочных полей (см. девятую главу). Еще одно уравнение гарантирует, что вся геометрия является суперсимметричной, а последнее предназначено для устранения аномалий, что существенно для обеспечения согласованности теории струн.

Как будто и без того задача не оказывается достаточно сложной, так вдобавок каждое из четырех уравнений фактически представляет собой систему уравнений, а не одно уравнение. Каждое из них можно записать как тензорное уравнение, но так как сам тензор содержит много переменных, то можно разделить одно уравнение на отдельные уравнения для компонентов.

По этой же причине известное уравнение Эйнштейна, которое содержит в себе всю общую теорию относительности, фактически представляет собой набор из десяти уравнений поля, описывающих гравитацию как кривизну пространства-времени, вызванную наличием вещества и энергии, несмотря на то что его можно записать как одно тензорное уравнение. При доказательстве гипотезы Калаби решение уравнений Эйнштейна в вакууме сводится к одному уравнению, хотя и довольно впечатляющему. С не-кэлеровыми многообразиями работать тяжелее, чем с многообразиями Калаби-Яу, потому что здесь наблюдается меньшая симметрия и, следовательно, больше переменных, каждая из которых ведет к увеличению числа уравнений, подлежащих решению. Кроме того, на данный момент у нас фактически нет математических инструментов для решения этой проблемы. В случае с Калаби-Яу, мы привлекли алгебраическую геометрию, инструменты которой разрабатывались на протяжении двух предыдущих столетий, что позволило нам справиться с кэлеровыми многообразиями, но не с их не-кэлеровыми коллегами.