Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Тем не менее я не считаю, что эти два класса многообразий настолько разные с математической точки зрения. Мы использовали геометрический анализ для построения многообразий Калаби-Яу, и я убежден, что эти инструменты помогут нам построить не-кэлеровы многообразия, допуская, что сначала мы должны решить уравнения Строминджера или, по крайней мере, доказать, что решения существуют. Физикам необходимо знать, действительно ли не-кэлеровы многообразия могут существовать и если да, то удовлетворяют ли всем четырем уравнениям сразу, поскольку, если это невозможно, то люди, работающие над этой задачей, просто даром теряют время. Я занимаюсь ею почти двадцать лет с тех пор, как Строминджер выдвинул свою идею, и не могу найти решение. То есть решение без сингулярностей, так как Строминджер нашел несколько решений с сингулярностями, но они оказались чрезвычайно сложными. И люди начали верить, что решений без сингулярностей не существует.

Затем произошел небольшой прорыв. Я и несколько моих коллег обнаружили решения без сингулярностей для пары специальных случаев. В первой статье, которую я завершил в 2004 году вместе с математиком из Стэнфорда Юном Ли (моим бывшим аспирантом), мы доказали, что класс не-кэлеровых многообразий математически возможен. Фактически для каждого известного многообразия Калаби-Яу мы доказали существование целого семейства не-кэлеровых многообразий, которые достаточны похожи по структуре, чтобы входить в одно семейство. Таким образом, впервые существование этих многообразий было подтверждено математически.

Хотя решение уравнений Строминджера является чрезвычайно трудным делом, мы с Ли сделали самое легкое, что можно было сделать в этой области. Мы доказали, что эти уравнения можно решить для частного случая, когда не-кэлерово многообразие очень близко к многообразию Калаби-Яу. Фактически, мы начали с многообразия Калаби-Яу и показали, как его деформировать, чтобы геометрия или метрика уже не были кэлеровыми. Хотя многообразие все еще могло поддерживать метрику Калаби-Яу, его метрика уже была не-кэлеровой, что сделало возможными решения системы Строминджера.

Вероятно, важнее то, что Ли и я обобщили теорему DUY (о которой упоминалось в девятой главе и название которой является аббревиатурой фамилий ее авторов — Дональдсона, Уленбека и Яу), чтобы охватить все не-кэлеровы многообразия. Теорема DUY имеет большое практическое значение, потому что она автоматически берет на себя решения двух из четырех уравнений Строминджера, связанных с эрмитовой теорией Янга-Миллса, и позволяет решить уравнения суперсимметрии и устранения аномалий.

Учитывая, что DUY является инструментальным средством для компактификаций Калаби-Яу (с точки зрения воспроизведения калибровочных полей), мы надеемся, что она также пригодится для не-кэлеровых компактификаций.

Одним из перспективных способов получения не-кэлеровых многообразий, подразумеваемый гипотезой Рида, является применение конифолдного перехода к уже известному многообразию Калаби-Яу. Я недавно рассматривал эту возможность с Юном Ли и Джи-Хианом Фу, бывшим своим гарвардским аспирантом, сейчас работающим в Фуданьском университете в Шанхае. Исходное многообразие, с которого мы начали, предложил Херб Клеменс, один из архитекторов конифолдного перехода, но он обеспечил нас только общей топологией, то есть многообразием без метрики и, следовательно, без геометрии. Фу, Ли и я пытались придать этому многообразию некоторую форму, показав существование метрики, которая будет удовлетворять уравнениям Строминджера.

Эти уравнения представляются уместными здесь, потому что они применимы не только к не-кэлеровым многообразиям, но также к многообразиям Калаби-Яу, которые представляют собой частный случай. Кроме того, гипотеза Рида включает процедуру, которая позволяет перейти от многообразий Калаби-Яу к не-кэлеровым многообразиям и обратно.

Таким образом, если вам нужен набор уравнений, которые охватывают обе геометрии, то формулировки Строминджера — возможно, именно то, что вы искали. Мы с коллегами доказали, что многообразие Клеменса удовлетворяет трем из четырех уравнений Строминджера, но пока мы не нашли решение для самого трудного из всех уравнений — уравнения устранения аномалий. Я все еще убежден, что искомое многообразие существует. В конце концов, если наши усилия увенчались решением трех уравнений — это уже хорошо. Но пока мы не решим последнее уравнение, у нас не будет необходимого доказательства.