"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Ясно, що х–3>0, тоді і х–2>0 та х–1>0 і дане рівняння рівносильно системі

Ця система немає розв’язків.

3. Розв’язати рівняння:

| х+5| + | х–3| = 10.

При розв’язуванні цього рівняння можна скористатися методом розбивання на проміжки, але доцільно застосувати такі міркування, які роблять розв’язок красивішим : умову прикладу пере формулювати таким чином – знайти на числовому промені такі точки х, що сума відстаней від них до точок з координатами –5 та 3 відповідно, дорівнює 10. Якщо такі точки є, то вони лежать поза інтервалом (–5;3) і якщо таку відстань позначити через d, то маємо: d +d+8 = 10; d= 1. Отже, х ₁=–5–1= –6; х ₂=3+1= 4. Такі міркування мають загальний характер; так якщо

| х+5 | + | х–3 | = а,

то d + d+8 = а; d= ;

При а=8, рівняння має безліч коренів, які належать проміжку [–5;3]. При а>8 рівняння має тільки два корені. При а<8 рівняння розв’язків не має. Зауважимо, що такі міркування цілком придатні і для розв’язку та доведення нерівностей.

4. Довести, що для любого дійсного х:

| х–2| + | х–6| ≥4.

Тут треба довести, що для всіх точок х, сума відстаней від точок з координатами 2; 6 відповідно не менше за чотири.

Ясно, якщо точка лежить поза інтервалу (2;6), то сума відстаней від неї до точок з координатами 2;6 більше за чотири, а якщо точка належить (2;6), то сума відстаней дорівнює 4. Тому для довільного х:

| х–2| + | х–6| ≥4.

Немає різниці у підходах до розв’язування і таких задач:

5. Розв’язати рівняння : | х–1| – | х–2| = 1,

.

6. Довести, що для будь якого х: | х+4|–| х–1|≤5.

Більш складним є розв’язання нерівностей:

7. Довести, що || х+1| – | х–1|| ≤ 2 для будь-якого х, але ця нерівність рівносильна системі:

або

а далі ясно.

Цікавим для обговорення є і такий метод розв’язання рівняння:

8. Розв’язати рівняння:

| 7–2 х| = | 5–3 х| + | х+2 |.

З того, що 7–2 х=(5–3 х)+( х+2) і | а+ b| = | а| + | b|, якщо ab≥0, слідує, що (5–3 х)( х+2)≥0, або –2 ≤х≤; тобто відрізок [–2; 1] є розв’язком цього рівняння.

Зрозуміло, що немає такої окремої “модульної” математики, але обговорення методів розв’язання та пошуку розв’язків задач такого типу безперечно повинно бути здійсненим на заняттях з шкільного курсу математики, бо саме воно й забезпечує методичну копичку майбутнього вчителя.

ВДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДИКИ

ВИКЛАДАННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ЕКОНОМІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

О.М. Вілігурська

м. Луцьк, Волинський інститут економіки та менеджменту

Згадується вислів М.В.Ломоносова “Математику вчити вже тому потрібно, що вона розум впорядковує”. Ці слова неодноразово підтверджуються реаліями життя, адже не можна здобути економічної освіти, не опанувавши ґрунтовно основ математичних знань.

З метою дослідження рівня знань студентів груп ОА-1а, ОА-1б, МО-1а, МО-1б, ОА-2, МО-2а, МО-2б були проведені спеціально розроблені контрольні роботи з вищої математики (спеціальність “Менеджмент організацій”) та математики для економістів (спеціальність “Облік і аудит”). Комплекти завдань підібрані з урахуванням типових програм курсів. Вони передбачали використання стандартних алгоритмів розв’язування.

Контрольні роботи висвітлили, які питання розділів є для студентів найбільш важкими, які помилки є типовими, а які випадковими.

Вони показали, що, наприклад, при вивченні розділу “Лінійна алгебра” типовими помилками для груп МО є:

1) при розкриванні визначника за стовпцем або рядком не завжди враховуються знаки алгебраїчних доповнень;

2) при розв’язуванні системи рівнянь методом Крамера не на належне місце ставиться стовпець вільних членів при обчисленні D _x, D _y, D _z;

3) при розв’язуванні методом Гауса використовують при обрахунках не потрібний, а вище розташований рядок, в результаті чого псується вже досягнуте;

4) при знаходженні оберненої матриці не враховують знаків алгебраїчних доповнень;

5) при обчисленні оберненої матриці ділять приєднану матрицю не на | A|, а на (–1).

Для групи ОА найбільш характерними є помилки 1) та 4).

Випадковими помилками є для МО:

1) помилки в обрахунках;

2) неправильний вибір деяких чисел при складанні мінорів елементів;

3) при знаходженні оберненої матриці інколи забувають, що вихідну матрицю треба транспонувати.

Для груп ОА найбільш характерними є помилки 1) та 3).

При вивченні розділу “Аналітична геометрія в просторі та на площині” для груп МО найбільш типовими помилками були:

1) неврахування знаку модуля в формулах пошуку відстаней та об’ємів, в результаті чого може бути отриманий від’ємний результат;

2) при пошуку площі трикутника через векторний добуток в кінці забувають врахувати множник ½;

3) неправильне винесення множників з-під кореня;

4) неправильно рахують координати векторів;

5) роблять помилки у визначенні A, B, C, Dв неповному рівнянні площини.

Випадковою помилкою при вивченні цього розділу було не записування вільного члена в чисельнику формули відстаней від точки до прямої або площини.

Для груп ОА відповідно типовими є помилки 1) та 3), а випадковою помилкою було неврахування додатності квадратів від’ємних чисел.