"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Одним із важливих понять теорії диференціальних рівнянь є поняття крайової задачі. Особливість методики вивчення теми полягає в тому, що студенти відносно самостійно за допомогою систем комп’ютерної математики (DERIVE, Matlab і інших) знаходять спосіб виконання предметно-пізнавальної дії для одержання потрібних результатів (зв’язків, числових характеристик параметрів, закономірностей). Крайові задачі зустрічаються в теорії електронних кіл, теорії управління, хімічній кінетиці та інших галузях науки і техніки. Тому знайомство із задачами прикладного змісту переконує студентів у необхідності оволодіння методами розв’язування крайових задач для звичайного диференціального рівняння. Прикладом може бути задача про математичне моделювання робочого процесу вібротраспортуючого пристрою, яке зводиться до розв’язування відповідного диференціального рівняння

y''+a( t)( y') ²+b( t) y=d( t),

де a( t), b( t), d( t) – функції, що характеризують робочий процес, узгодження процесів, які змінюються повільно, та збурень, які швидко згасають.

Завданням для індивідуальної роботи може бути інша задача. Знайти реакцію системи стеження радіолокатора на вплив, що задається функціями x( t) =Asin( αt+φ), x( t) =α+βt+γt ², x( t) =α+βt+γt ² +μt ³тощо, дослідити систему стеження на стійкість, якщо її математична модель задається диференціальним рівнянням

y''( t) +ay'( t) +by( t) =x( t).

При розв’язуванні використовуються такі методи: метод характеристичного рівняння, варіації довільних сталих, операційний метод (лишки та інтеграл Дюамеля), сплайн-функції і інші.

Оволодіння новим матеріалом здійснюється у такій послідовності: за допомогою довідникових програм студенти можуть ознайомитись із задачами, при розв’язуванні яких необхідно знати методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь; викладач організовує роботу студентів з програмами, в яких моделюються відповідні фізичні процеси; розкриває зміст поняття крайової задачі звичайного диференціального рівняння; студенти будують інтерполяційні многочлени, за допомогою одного з пакетів одержують графіки розв’язків рівнянь та їх наближень базовими функціями.

Зміст поняття крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь формується шляхом аналізу математичної моделі. А зміст поняття наближеного розв’язку крайової задачі можна розкрити інтегруючи, наприклад, рівняння

y''–2 y=4 х²ехр( х ²), у(–1) =у(1) = 0,

розв’язком якого є функція y=exp( x ²) –0.624(exp(1.41 x) +

+exp( –1.41 x)) .Наближений аналітичний розв’язок знаходиться, наприклад, у вигляді комбінації базових функцій: u ₀( х) =0, u ₁( х) =1 –x ², u ₂( х) =1– x ⁴, ...

y( x) =a(1 –x²) +b(1 –x⁴) .

Для інших базових функцій, а саме: v ₀( х) =0, v ₁( х) =1– x ², v ₂( х) =x ²(1 –x ²), ... , наближений розв’язок шукаємо у вигляді:

y( x) =a(1 –x²) +bx²(1 –x²) .

За допомогою пакетів студенти будують наближені розв’язки. Якщо вибрана система функцій { u _n( x)}, то коефіцієнти a=0.4203, b=–0.6563 і наближений розв’язок отримаємо у вигляді: y=0.656 x ⁴ –0.42 x ² –0.236. У випадку вибору системи функцій { v _n( x)}, коефіцієнти будуть: a=–3.0934, b=–0.1460, а наближений розв’язок: y=–0.146 x ⁴ –2.95 x ² +3.096. Далі студенти будують графіки наближених аналітичних розв’язків та графік точного розв’язку. Візуальна оцінка отриманих розв’язків дає змогу зробити аналіз та висновки щодо вибору базових функцій та необхідності оцінювання похибки наближення.

Розглянемо застосування математичних комп’ютерних систем до виконання типових розрахунків

Задача. Знайти розв’язок крайової задачі

y''–4 y'+4 y=e^3x, y(0)=0, y(1)=–2.

Метод Рітца.Даються вказівки щодо виконання завдання.

1. Запишіть відповідний функціонал

J( y)=, y(0)=0, y(1)=–2.

2. Виберіть базисні функції, наприклад:

a) u₁( x) =x, u₂( x) =x(1 –x), u₃( x) =x²(1 –x), ...;

б) u₁( x) =x( x–1), u₂( x) =x²( x–1) , ...;

в) u₁( x) =1– x ², u ₂( x) =1 –x ⁴, u ₃( x) =1 –x ⁶, ...;

г) u₁( x) =x²(1 –x), u₂( x) =x³(1 –x) ², u₃( x) =x⁴(1 –x) ³, ...;

3. Запишіть перше наближення y ₁( x) розв’язку y( x).

4. Завантажте комп’ютерну систему DERIVE, та виконайте вказані дії.

5. Побудуйте графік функцій y( x). Порівняйте його із графіками наближених розв’язків y ₁( x) і y ₂( x).

Задача. Спрощена модель системи стеження радіолокатора може бути сформульована у вигляді ДР [2]:

x''( t) +a₁x'( t) +a₂x( t) =f( t) .(1)

Завдання типового розрахунку полягає в оцінюванні різниці вхідного і вихідного сигналів f( t) –x( t) і порівнянні різних форм вхідного сигналу f( t): f ₁( t)= Asin( αt+φ), f ₂( t) =b ₀ +b ₁ t+b ₂ t ², f ₃( t) =b ₀ +b ₁ t+b ₂ t ² +b ₃ t ³, якщо x(0)=0, x'(0)=0. Розглянути також випадки апроксимації функції f( t) многочленами, сплайн-функціями, якщо відомі значення функції f(0), f(1), f(2), f(3).