"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Як ми уже бачили, моделі деяких процесів описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Особливо це стосується дослідження систем автоматичного управління, які описуються нелінійними математичними моделями. Тому для одержання характеристик динамічної системи часто перетворюють рівняння. Одним із методів перетворення рівнянь є метод лінеаризації. Він полягає у послідовному перетворенні нелінійного рівняння, в результаті чого одержується лінійне рівняння, яке відповідає заданому нелінійному. Розглядають повну лінеаризацію, коли рівняння зводиться до такого, в якому міститься менша кількість нелінійностей або спрощені нелінійності – наприклад, коли функція y=e ^хзаміняється першими членами ряду Тейлора 1 +x+0.5 x ².

Приклад. Знайти методом лінеаризації наближений розв’язок системи ДР, яка є варіантом моделі розвитку популяції

де x( t), y( t) – кількість жертв та хижаків, α>0, β<0, γ<0, δ>0.

Початкові умови x(0) =x ₀, y(0) =y ₀.

Замінимо нелінійну задачу лінійною в околі стаціонарної точки, де dx/dt=0, dy/dt=0. Це точка з координатами x _s =–γ/δі

y_s=–α/β. Праві частини рівнянь системи подамо у вигляді формули Тейлора в околі стаціонарної точки M( x _s, y _s), обмежившись лінійними членами.

f( x, y) =f( M) +df/dx( M)( x–x_s) +df/dy( M)( y–y_s) +...

Тоді αx+βxy=βx _s( y–y _s), γy+δxy=δy _s( x–x _s), а лінеаризована система набуває вигляду

Можна зробити висновок про те, що поведінка розв’язку заданої системи у певному розумінні близька до розв’язку лінеаризованої системи ДР і, що на основі цього можна робити певні висновки та припущення щодо досліджуваного процесу. Наприклад, що фазові траєкторії в околі стаціонарної (особливої) точки є концентричними, що коливання в системі «хижак–жертва» є нестійкими.

Розглянута методика проведення заняття демонструє студентам доцільність використовування комп’ютерів з метою ефективнішого засвоєння матеріалу; сприяє формуванню у студентів навичок використання пакетів, вмінь правильно аналізувати практичні задачі; переконує студента у необхідності оволодіння теоретичними знаннями; студенти набувають досвід використання таких методів наукового пізнання, як аналіз, порівняння, узагальнення та інше; активізує навчально-пізнавальну діяльність студентів.

Баженов В.А., Гранат С.Я., Шишков О.В. Будівельна механіка. Комп’ютерний курс: Підручник. – К.:, 1999. – 584 с.

Клочко В.І. Застосування нових інформаційних технологій навчання при вивченні курсу вищої математики у технічному вузі: Навч. метод. посібн. – Вінниця: ВДТУ, 1997. – 64 с.

Лотюк Ю.Г. Використання НІТН математики на прикладі розв’язування лінійного диференціального рівняння першого степеня з поліноміальними коефіцієнтами методом Дзядика // Вісник ВПІ. – 2001. – №3. – С. 122-129.

ДЕЯКІ ПРОБЛЕМИ РЕАЛІЗАЦІЇ

АЛГОРИТМІЧНОГО ПІДХОДУ У НАВЧАННІ

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

О.М. Коломієць

м. Черкаси, Черкаський державний університет

ім. Б. Хмельницького

Розв’язування геометричних задач, як показує практика, викликає значно більше утруднень в учнів, в порівнянні з розв’язуванням алгебраїчних задач. Процес розв’язування геометричних задач важче піддається структуруванню, через це до таких задач складніше складати схеми та алгоритми розв’язування. Крім того, не достатньо розкритою залишається сутність поняття алгоритмічного підходу до навчання розв’язування геометричних задач.

Для того, щоб розкрити певною мірою зміст цього поняття, зупинимось на деяких його трактуваннях, що зустрічаються у методичній літературі.

За І.Г. Габовичем, реалізація алгоритмічного підходу – це “ефективний метод навчання учнів розв’язування задач, який заснований на використанні при відшуканні плану розв’язування задачі деяких результатів, отриманих при розв’язуванні так званих базових задач” 2, 3. Під результатами розуміються ті математичні факти, які встановлюються в ході розв’язування базової задачі. Такий підхід, на думку І.Г. Габовича, дозволяє учням швидко знайти план розв’язування інших, більш складних задач. Базовими вважаються задачі на доведення, результат яких є залежності, що часто і ефективно використовуються в розв’язуванні інших геометричних задач. Поряд з терміном “базові задачі” І.Г. Габович використовує ще й термін “алгоритмічні відомості”, вкладаючи в нього аналогічний зміст.

Для прикладу розглянемо дві задачі.

Задача 1. Навколо кола описана рівнобічна трапеція з бічною стороною l, одна з основ якої дорівнює а. Знайти площу трапеції.

Задача 2. Довести, що якщо в чотирикутник вписане коло, то суми довжин протилежних сторін рівні.

Слідуючи за І.Г. Габовичем, другу задачу потрібно вважати базовою для першої задачі.