Том 1. Механика, излучение и теплота

Рассмотрим сначала свойство II. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Р₀ и плотностью ρ₀. Давление Р зависит от плотности среды: Р=f(ρ), и в частности равновесное давление Р₀=f(ρ₀). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах (1 бар=10⁵н/м²). Давление в одну стандартную атмосферу приблизительно равно 1 бар (1 атм=1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления:

(47.1)

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Р_отн=2·10^-10 бар.

Звуковое давление Р=10³ Р_отн=2·10^-7 бар[35] соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление меняется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэтому, написав для звуковой волны

(47.2)

можно считать, что изменение давления P_u очень мало по сравнению с P₀, а изменение плотности ρ_u очень мало по сравнению с ρ₀. Тогда

(47.3)

где P₀=f(ρ₀) и f'(ρ₀) — производная от f(ρ), взятая при значении ρ=ρ₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что ρ_u очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление P_u пропорционально избыточной плотности ρ_u; коэффициент пропорциональности обозначается через ϰ:

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину χ(х,t), так что его новое положение есть x+χ(x,t), как показано на фиг. 47.3.

Фиг. 47.3. Смещение воздуха в точке х есть χ(х,t), а в точке х+Δх равно χ(x+Δx,t). Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть Δx, а окончательный объем равен Δx+χ(x+Δx,t)-χ(x,t).

Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Δх, и его смещенное положение есть х+Δх+χ(х+Δх,t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Δx, есть ρ₀Δx, где ρ₀ — невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+χ(x,t) и x+Δх+χ(х+Δх,t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Δx до прихода волны. Если через ρ обозначить новую плотность, то

(47.5)

Поскольку Δx мало, можно написать χ(x+Δx,t)-χ(x,t)=(∂χ/∂x)Δx. Здесь уже появляется частная производная, потому что χ зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид

(47.6)

или

(47.7)

Но в звуковой волне все изменения малы, так что ρ_u мало, χ мало и ∂χ/∂x тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

(47.8)

можно пренебречь ρ_u(∂χ/∂x) по сравнению с ρ₀(∂χ/∂x). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству I:

(47.9)

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смещение χ растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной Δx и с единичной площадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть ρ₀Δx, а ускорение воздуха есть ∂²χ/∂t², так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть ρ₀Δx(∂²χ/∂t²). (Если Δx мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна ρ₀Δx(∂²χ/∂t²). В точке х мы имеем силу Р(х,t), действующую на единицу площади в направлении +х, а в точке x+Δx возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(x+Δx, t) (фиг. 47.4):