Том 1. Механика, излучение и теплота

Этот результат легко получить и математически. Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о всех пространственных соотношениях, а просто посмотрим, что приходит в точку Р. Пусть от одного источника приходит волна cosω₁t, а от другого — волна cosω₂t, причем обе частоты ω₁ и ω₂ не равны в точности друг другу. Разумеется, амплитуды их тоже могут быть различными, но сначала давайте предположим, что амплитуды равны. Общую задачу мы рассмотрим позднее. Полная амплитуда в точке Р при этом будет суммой двух косинусов. Если мы построим график зависимости амплитуды от времени, как это показано на фиг.48.1, то окажется, что, когда гребни двух волн совпадают, получается большое отклонение, когда совпадают гребень и впадина — практически нуль, а когда гребни снова совпадают, вновь получается большая волна.

Фиг. 48.1. Суперпозиция двух косинусообразных волн с отношением частот 8:10. Точное повторение колебаний внутри каждого биения для общего случая не типично.

Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полезные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что

(48.1)

и что вещественная часть экспоненты e^ia равна cosа, а мнимая часть равна sinа. Если мы возьмем вещественную часть ехр[-i(a+b)], то получим cos(a+b), а для произведения

мы получаем cosacosb-sinasinb плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом,

(48.2)

Если теперь изменить знак величины b, то, поскольку косинус при этом не изменяет знака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса разности

(48.3)

После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно половине косинуса суммы плюс половина косинуса разности

(48.4)

Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для cosα+cosβ, если просто положить α=а+b, a β=а-b, т. е. a=¹/₂(α+β), a b=¹/₂(α-β):

(48.5)

Но вернемся к нашей проблеме. Сумма cosω₁t и cosω₂t равна

(48.6)

Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что ¹/₂(ω₁+ω₂) равна какой-то средней частоте, которая более или менее та же, что и каждая из них. Но разность ω₁-ω₂ гораздо меньше, чем ω₁ и ω₂, поскольку мы предположили, что ω₁ и ω₂ приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной первоначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульсирует с частотой, равной ¹/₂(ω₁-ω₂). Но та ли это частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.6) говорит, что амплитуда ведет себя как cos¹/₂(ω₁-ω₂), и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусоидами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48.1). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой ¹/₂(ω₁-ω₂), однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза большую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интенсивности происходит с частотой ω₁-ω₂, хотя мы и умножаем на косинус половинной частоты.

Пренебрегая этими небольшими усложнениями, мы можем заключить, что если складывать две волны с частотами ω₁ и ω₂, то получим волну с частотой, равной средней частоте ¹/₂(ω₁+ω₂), «сила» которой осциллирует с частотой ω₁-ω₂.

Если амплитуды двух волн различны, то можно, конечно, повторить все вычисления снова, умножив предварительно косинусы на различные амплитуды А₁ и А₂ и произведя массу всяких математических вычислений, перестроек и т. п. с использованием уравнений, подобных (48.2) — (48.5). Однако есть и другой, более легкий путь провести этот же анализ. Известно, например, что гораздо легче работать с экспонентами, чем с синусами и косинусами, поэтому можно представить A₁cosω₁t как реальную часть экспоненты А₁ехр(iω₁t). Подобным же образом вторая волна будет реальной частью A₂ехр(iω₂t). После сложения этих экспонент A₁exp(iω₁t)+A₂exp(iω₂t) и выделения в качестве множителя экспоненты со средней частотой мы получим

(48.7)

т. е. снова оказывается, что высокочастотная волна модулируется малой частотой.

§ 2. Некоторые замечания о биениях и модуляции

Предположим теперь, что нас интересует интенсивность волны, описываемой уравнением (48.7). Чтобы найти ее, нужно взять квадрат абсолютной величины либо правой, либо левой части этого уравнения. Давайте возьмем левую часть. Интенсивность при этом будет равна

(48.8)

Видите, интенсивность возрастает и падает с частотой ω₁-ω₂, изменяясь в пределах между (А₁+A₂)² и (А₁-A₂)². Если А₁≠А₂, то минимальная интенсивность не равна нулю.

Те же результаты можно получить и другим путем—с помощью схем, подобных фиг. 48.2.