Том 1. Механика, излучение и теплота

Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси х, возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, есть — (∂P/∂x)Δх.

(47.10)

Мы учли, что Δx мало и что только избыточное давление Р_u меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

(47.11)

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Р_u в (47.11) с помощью (47.4):

(47.12)

а затем исключить ρ_u с помощью (I). Тогда ρ₀ сократится и у нас останется

(47.13)

Обозначим с_s²=ϰ, тогда можно написать

(47.14)

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.

§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя ∂χ/∂x, получаем производную функции dχ/dx=f'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим

(47.15)

Дифференцируя эту же функцию χ по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или ∂χ/∂t=-vf(x-vt); вторая производная по времени дает

(47.16)

Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c_s.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c_s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида χ(х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v, но знак д²χ/dt² не зависит от выбора x+vt или х-vt, потому что в эту производную входит только v². Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c_s.

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем χ₁. Это значит, что вторая производная χ₁ по х равна второй производной χ₁ по t₁, умноженной на 1/с_s². И пусть есть второе решение χ₂, обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

(47.17)

Теперь мы хотим удостовериться, что χ(х, t) тоже представляет некую волну, т. е. χ тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

(47.18)

и вдобавок

(47.19)

Отсюда следует, что ∂²χ/∂x²=(1/c_s²)∂²χ/∂t², так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по χ.

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлетворяет волновому уравнению

(47.20)

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.

§ 5. Скорость звука

При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью:

(47.21)