Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Перед тем как рассказать об относительной высоте звуков, следует объяснить понятие интервала. Как вы только что увидели, каждой ноте соответствует определенная частота, которая отличает эту ноту от других. Однако пифагорейцы анализировали не отдельные ноты, а отношения между ними. Две любые ноты разделяет расстояние, называемое интервалом. Существует два подхода к этому понятию. Согласно первому, интервал — это расстояние между нотами. Каждый интервал носит название в соответствии с числом нот, содержащихся в границах интервала. Так, интервал между до и фа содержит четыре ноты: до-ре-ми-фа. Интервал до — фа называется квартой. Также говорят, что расстояние между до и фа равно кварте. Уже известный нам интервал октава подчиняется этому же правилу: чтобы перейти от до к следующему до, нужно восемь нот: до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до. Указанные выше интервалы являются восходящими. Нисходящие интервалы начинаются с более высокой ноты и читаются в обратном направлении: интервал до — ля называется терцией, так как охватывает три ступени: до-си-ля. (Полная классификация интервалов несколько сложнее. О ней подробно рассказано в приложении I.)

Согласно второму подходу, интервалы можно также представлять в численном виде как соотношение частот нот. В этом случае имеет значение не абсолютная частота звука каждой ноты, а отношение между их частотами. Тогда две ноты можно сравнить, указав разделяющий их интервал в виде отношения частот соответствующих звуков. Если, например, мы сыграем две ноты, разделенные интервалом в одну кварту, то более высокая нота будет иметь частоту, равную 4/3 частоты более низкой ноты. Если два звука разделены интервалом в одну квинту, то их частоты относятся как 3:2. Например, для ноты ля частотой 440 Гц следующая нота ми, отделенная интервалом в одну квинту, будет иметь частоту в 660 Гц.

* * *

ЛИНЕЙНЫЙ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ

Интервал между двумя нотами называется по числу нот, их разделяющих, включая границы интервала. Из-за этого операция сложения интервалов не является интуитивно понятной. Чему равна сумма секунды и терции? Квинте? Достаточно выполнить несложные расчеты, чтобы показать, что это не так. Пусть началом интервала, равного искомой сумме, будет нота до. Прибавив секунду, мы получим ноту ре. Прибавив терцию, получим фа. Таким образом, сумма этих интервалов равна не квинте, а кварте.

Сумма интервалов подчиняется линейному закону. Если мы пронумеруем клавиши пианино, обозначив за 1 самую низкую ноту, за 88 — самую высокую, то увидим, что клавиши, соответствующие ноте ля, имеют номера 1, 8, 15, 22, 29 и так далее. Иными словами, чтобы перейти от одной ноты ля к следующей, нужно перейти на семь клавиш вправо или влево. Однако если мы рассмотрим не клавиши пианино, а частоты соответствующих звуков, то увидим, что они возрастают не линейно, а экспоненциально. Так, самый низкий звук пианино, соответствующий ноте ля, настраивается на частоту 27,5 Гц. Чтобы перейти к следующему ля, нужно не прибавить к этой частоте какое-то фиксированное число, а умножить эту частоту на 2. Таким образом, следующая ля настраивается на 55 Гц, следующая — на 110 Гц и так далее.

* * *

Отношение между длинами двух струн обратно отношению между частотами звуков, издаваемых этими струнами. Например, если звуки разделены квинтой, то есть их частоты относятся как 3:2, то длины этих струн относятся друг к другу как 2:3. Далее мы не будем упоминать о длинах струн, а будем говорить только о частотах звуков.