Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Существуют определенные свойства, которыми должны обладать множества чисел, чтобы образовывать согласованную систему, или, иными словами, чтобы их действительно можно было использовать и определить на них элементарные операции. Первое из этих свойств состоит в том, что эти множества должны быть замкнутыми относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Иными словами, при сложении двух целых чисел мы ожидаем, что результат также будет целым числом. Второе свойство — упорядоченность: для двух любых данных чисел можно однозначно указать, что они равны или что одно из них больше другого. Третье свойство — плотность, оно более сложное, и им обладают не все множества чисел. Свойство плотности означает, что между двумя произвольными числами всегда находится третье, но этот принцип, как вы уже видели, не выполняется ни для натуральных, ни для целых чисел. Например, между 5 и 6 нет никакого другого целого числа. Как известно, плотность характерна для рациональных чисел, но Кантор знал, что новое множество иррациональных чисел, которое он хотел определить с помощью фундаментальных последовательностей, тоже должно обладать этим свойством. Он понимал, что числа, которым он пытался дать определение, были расширением рациональных чисел, и, что вполне логично, предполагал, что свойства рациональных чисел естественным образом будут распространяться и на иррациональные. Однако доказать свою догадку ему не удалось. Кроме того, возникла еще одна проблема — различные фундаментальные последовательности могли сходиться к одному и тому же иррациональному числу. Эти и другие препятствия были преодолены с введением понятий отношения эквивалентности и фактор-множества, с помощью которых множества чисел определяются сейчас.

Заострим внимание на том, что Кантор свободно использовал понятие актуальной бесконечности в определении столь конкретного явления, как число, которое, по сути, является не чем иным, как пределом бесконечной числовой последовательности. В своих первых работах он также не использовал понятие предела. Более того, он говорил не о числах, а о числовых величинах. Кантор осознавал, что ступает на зыбкую почву, поскольку при рассмотрении понятий бесконечности и непрерывности следует вооружиться логическими и математическими инструментами, а их у него не было, и Кантору ничего не оставалось, кроме как создать эти инструменты самому.

Расширив множество рациональных чисел , Кантор перешел к новому множеству , которое назвал множеством вещественных чисел. Некоторые считают, что выбор этого названия был продиктован существованием мнимых чисел, о которых в то время было уже известно, однако есть основания полагать, что Кантором двигали иные причины. В «Основаниях общей теории множеств» он использует понятие предела и отказывается от понятий числовой величины, называя введенное им множество множеством вещественных чисел. Это очень важная деталь: она указывает, что Кантор был готов принять актуальную бесконечность не как спекуляцию, а как реальный математический объект — столь же реальный, как целые или дробные числа.

Вещественная прямая

Прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор, работая над определением вещественной прямой, следовал путем, который мы уже описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчета и выбрал единицу измерения. В начальную точку он поместил число 0, справа от него — целые положительные числа, слева — отрицательные. Добавим к ним рациональные числа, то есть дроби: положительные расположим справа, отрицательные — слева. Напомним, что с добавлением рациональных чисел эта прямая приобрела свойство плотности, согласно которому между двумя любыми рациональными числами всегда находится другое рациональное число.

Вы уже знаете, какой масштабный кризис вызвало открытие числа √2 в древнегреческой математике. Суть проблемы заключалась в том, что это число можно было совершенно четко представить с помощью прямоугольного треугольника с катетами единичной длины, но длина гипотенузы этого треугольника, выражаемая иррациональным числом, не входила во множество точек прямой, на которой мы определили единицу измерения катетов. Таким образом, длина гипотенузы имела смысл как величина, но не существовала как число. В этом смысле можно было утверждать, что вещественная прямая содержала бесконечное множество промежутков, пустых точек, которым не соответствовали никакие числа, следовательно, вещественная прямая не была непрерывной.

С введением иррациональных чисел всем точкам этой прямой оказались присвоены числа, рациональные или иррациональные, и промежутки на ней исчезли. Теперь прямая по праву могла называться вещественной.