Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.

Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х² — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх² — 6х³ = -12 — уравнение третьей степени.

В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.

Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:

х кг вес золота 975-й пробы

(2 — х) кг вес золота 750-й пробы

х•0,975 + (2 — х)•0,750 = 2•0,900

х•0,975 + 2 0,750 — 0,750•х = 1,800

х•0,975 — 0,750х = 1,800 — 2•0,750

х•0,225 = 1,800 — 1,500

х•0,225 = 0,300

х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы

(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.

Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м² Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины (х) на длину (х + 20) равно 2400 м². Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах² + Ьх + с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:

В этом случае:

х•(х + 20) = 2400; х² + 20х = 2400; х2 + 20х — 2400 = 0.

Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.

Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:

<= «меньше либо равно»

< «меньше» (строго)

>= «больше либо равно»

> «больше» (строго).

Неравенству с одной переменной х — 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример:

х — 7 >= 13; х — 7 + 7 >= 13 + 7; х >= 20.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, больших или равных 20.

Иногда уравнения и неравенства ведут себя по-разному, как, например, в следующем случае.

Здесь для решения неравенства нужно сменить его знак на противоположный.

Это можно показать так: 7 < 13, однако, напротив, — 7 > — 13.

* * *

Сумма первых восьми нечетных чисел записывается следующим образом:

 ⁿ_j=0 (1 + 2j) = (1 + 2•0) + (1 + 2•1) + (1 + 2•2) + (1 + 2•3) + (1 + 2•4) + (1 + 2•5) + (1 + 2•6) + (1 + 2•7) + (1+ 2•8) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17.

Сумма  ⁵_j=2 2^j равняется 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ = 4 + 8 +16 + 32.

Сумма  ³_l=1 (l+1)•3^l = 2•З¹ + 3•З² + 4•3³ = 6 + 27 + 108.

* * *