Том 2. Электромагнетизм и материя

Но теперь мы даже знаем, какой нам взять величину γ, ибо она связана с проводимостью металла. В гл. 43 (вып. 4) мы обсудили связь проводимости металлов с диффузией свободных электронов в кристалле. Электроны движутся по ломаному пути от одного соударения до другого, а между этими толчками они летят свободно, за исключением ускорения из-за какого-то среднего электрического поля (фиг. 32.2).

Фиг. 32.2. Движение свободного электрона.

Там же, в гл. 43 (вып. 4), мы нашли, что средняя скорость дрейфа равна просто произведению ускорения на среднее время между соударениями τ. Ускорение равно q_eE/m, так что

(32.39)

В этой формуле поле Е считается постоянным, так что скорость v_дрейф тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсутствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы определили γ через силу торможения, равную γmv [см. (32.1)], или q_eE, поэтому получается, что

(32.40)

Несмотря на то что мы не можем с легкостью измерять непосредственно τ, можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле Е порождает в металлах ток с плотностью j, пропорциональной Е (для изотропного материала, конечно):

причем постоянная пропорциональности σ называется проводимостью.

В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39), если положить

тогда

(32.41)

Таким образом, τ, а следовательно, и γ могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40) и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для показателя преломления в виде

(32.42)

где

(32.43)

Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.

§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота

Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина ω достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде

(32.44)

Возведением в квадрат[45] можно проверить, что

таким образом, для низких частот

(32.45)

Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быстро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как

(32.46)

Запишем это в виде

(32.47)

где δ — это то расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Амплитуда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.

Фиг. 32.3. Амплитуда поперечной электромагнитной волны в металле как функция расстояния.

Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина δ называется глубиной скин-слоя и определяется выражением

(32.48)

Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приближенно заменить уравнением (32.44), только когда ωτ много меньше единицы и когда ωε₀/σ также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при

и

(32.49)

Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления τ воспользуемся уравнением (32.43), а для вычисления σ/ε₀ — известными значениями σ и ε₀. Справочник дает нам такие данные:

Если мы предположим, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно

Используя далее

получаем

Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 10¹² гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» поведение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)

Для таких волн глубина скин-слоя равна

Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)

т. е. волны проникают на очень малое расстояние.

Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волноводов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощутимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.

Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот ωτ много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппроксимируется следующим:

(32.50)

Для высокочастотных волн показатель преломления в металлах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с γ, что может быть сделано при очень больших значениях ω. Выражение (32.38) дает при этом

(32.51)